Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos
O conjunto dos números complexos é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.
O número imaginário
A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de Predefinição:Math. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por
Soma por um número real
A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:
- b igual a zero para um número real qualquer;
- a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.
Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é
Que resulta em z = 2 + i.
Operações com os complexos
Soma e subtração
O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:
Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =
Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.
A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:
Que é igual a 1 + 5i.
Multiplicação
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:
Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:
Potenciação
Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:
Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:
Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:
Divisão
, se .
Formas de representar os complexos
As duas formas principais de representar os números complexos são:
z = a+bi
ou
z = (a,b)
A parte real do número z é o número a e é denotada por Re(z). A parte imaginária do número z é o número b e é denotada por Im(z).
Veja também
Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.
de:Imaginäre und komplexe Zahlen en:Intermediate Algebra/Complex Numbers fr:Mathématiques au lycée/Nombres complexes