Álgebra linear/Produto interno
Em Álgebra Linear, chamamos de produto interno uma função de dois vectores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.
Definição
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K. Em V, podemos definir a função binária (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:
- Se , então >
onde u, v e w são vectores de V, e λ é um elemento de K.
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes conseqüências:
- Se , então
- Se , então
Exemplos
O produto escalar sobre o espaço vectorial satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:
Se f e g são duas funções, é possível definir o produto interno:
Vectores ortogonais
Dizemos que dois vectores são ortogonais se .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então
Complemento ortogonal
Seja
Definimos o complemento ortogonal de v, , como:
Conseqüências (prove!):
- é um subespaço vetorial de V
- Seja um subespaço vetorial de V, e uma base de .
- , W é subespaço de V.
Norma
Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K, com produto interno. Definimos a norma ou comprimento de um vetor como sendo o número , que indicamos por .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então (Teorema de Pitágoras)
Projecção ortogonal
Projecção de um vector v na direção de um vetor u, onde u ≠ 0
Definimos essa projecção como sendo o vector
Projecção de um vector v sobre um subespaço vectorial W de V
Seja , onde é uma base ortogonal de W.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Dados , então
Desigualdade triangular
Base ortogonal e ortonormal
Uma base de V é dita ortonormal se , onde
- , se i = j
- , se i ≠ j
A base é ortogonal se os vectores são ortogonais dois a dois.
Propriedade: n vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Dada uma base de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal de V.
Distância entre dois vectores
Definimos a distância entre dois vectores, u e v, como sendo
Uma função distância tem as seguintes propriedades:
Essas propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.
Melhor aproximação de um vector v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V
Se , então u é o vector de W que dá a melhor aproximação de v por um vetor de W.
Demonstra-se que
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