Álgebra linear/Transformações lineares
Predefinição:Navegação/Simples
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se .
Uma matriz A é auto-adjunta se .
- Se , é chamada simétrica.
- Se , é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se , então .
- Se V é complexo e , então .
Prove:
- Se e , então .
- Seja , com V complexo. Então .
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se .
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se .
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador , se .
Dizemos também que W é T-invariante.
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então .
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e .
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.