Álgebra linear/Transformações lineares
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Transformações Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se
Existência de uma transformação
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a . Seja uma base de V e vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .
Núcleo
- Definição
Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
- Se e temos logo ou seja,
Posto e Nulidade
Se , o posto(T) = dim Im(T) e a Nulidade(T) = dim Ker(T)
Teorema do posto e da nulidade
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e . Se , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Prova
- Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja uma base do Ker(T). Existem vetores com j=k+1,...,n onde é uma base de V.
- Definindo a base da imagem:
Como é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos , mas , pela definição de núcleo. Assim os vetores geram a imagem de T(V).
- Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem tal que .
Tomemos . Logo . Como .
Portanto . Como são L.I., então .
- Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) é a dimensão da imagem, isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V). Como geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.
A nulidade (T) é a dimensão do núcleo, isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V). Como é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k
Funcionais Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que e
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
- Definição
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teoremas
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que
Demonstra-se ainda que
Adjunto de um operador linear
Definição
- Definição
Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se é chamada simétrica.
- Se é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se então
- Se V é complexo e então
Prove:
- Se e então
- Seja com V complexo. Então
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se
Dizemos também que W é T-invariante.
Exercícios
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.