Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas
Seqüências numéricas infinitas
Definição: Uma seqüência é uma função onde o domínio é e cuja imagem é ou .
Notações:
1 2 3 4
OBS.: Utilizaremos mais a notação 4
OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação
Limite de uma seqüência
Definição: Dada uma seqüência , dizemos que o número é o limite de para se, Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists N} tal que Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon} .
Definição: Se a seqüência tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Propriedades de seqüências
Sejam duas seqüências convergentes, isto é, e .
Então:
1 2 3 4
Subseqüências
Definição: Dada uma seqüência , as restrições de a subconjuntos de s erão denominadas subseqüências de .
Teorema: Se , então toda subseqüência de converge para o mesmo limite L.
Teorema: Dada a seqüência , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então converge também para L.
Definição: Dada uma seqüência , temos que:
1 l é chamada de cota inferior se 2 L é chamada de cota superior se 3 é dita limitada se possui cota inferior e cota superior
Observações:
1 Se é uma seqüência crescente (), então é uma cota inferior 2 Se é uma seqüência decrescente (), então é uma cota superior 3 Se é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos (Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle a_n > 0} ), então é limitada,
Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.
Seqüências monótonas e limitadas
Definição: Seja uma seqüência monótona:
- crescente, se
- decrescente, se