Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos
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Tipos de triângulos
Classificação segundo a medida relativa dos lados
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
- Um triângulo eqüilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo:todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
- Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
- Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
- EQÜILÁTERO
- Arquivo:Triangle.Equilateral.png
- Três lados congruentes.
- Todo triângulo eqüilátero também é eqüiângulo.
- Todos ângulos internos de um triângulo eqülatero tem 60°.
- ESCALENO
- Arquivo:Triangle.Scalene.png
- Medidas de todos os lados distintas.
Classificação de acordo com seus ângulos internos
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
- Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
- Um triângulo obtusângulo possui uma ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
- Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
- TRIÂNGULO RETÂNGULO
- Arquivo:Triangle.Right.png
- Um ângulo reto.
- TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
- Arquivo:Triangle.Obtuse.png
- Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Fatos Básicos
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..
Um triângulo é um polígono.
Dois triângulos são ditos semelhantes ou similares se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas.Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.
Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.
soma dos ângulos internos
Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
Ex:
soma dos ângulos externos
Existe também um Corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos nâo-adjacentes.
Ex: Sendo a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice , pode-se afirmar que:
Teorema de Pitágoras
Este é um teorema fundamental, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.
O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:
Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para computar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.
A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma círcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem comumente em geometria. O chamado "triângulo 45-45-90" possui ângulos com essas medidas e a proporçãode seus lados é: . O "triângulo 30-60-90" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: .
Relações de desigualdades entre lados e ângulos
1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.
2ª relacão: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidadas dos outros dois.
área
- Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida calculando:
Matemática Elementar: Geometria: Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo