Cálculo (Volume 1)/Integrais
Integrais
Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:
Antiderivadas e antidiferenciais
Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:
Considere a função cuja derivada , então dizemos que é a antiderivada de , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.
Podemos então dizer:
A antiderivação é a operação pela qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva.
O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.
No caso da antidiferencial, analisamos apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: .
Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.
Definições
Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função , então temos: , o que nos leva a algo muito interessante:
O que nos lembra:
Temos ainda que , fazendo-nos deduzir que precisamos operar:
Para encontrar y.
Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:
De forma mais completa a antidiferencial da função é: