Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico
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Introdução
- Se você leu as partes deste wikibook que tratam da lógica aristotélica e do CPC (e você deveria ter lido o segundo antes de começar a ler este), deve ter reparado que não podemos formalizar os silogismos categóricos por meio do Cálculo Proposicional. Vejamos o seguinte silogismo em Darii:
- Toda espécie de mamífero é produtora de leite.
- Alguns animais marítimos são espécies de mamíferos.
- Logo, alguns animais marítimos são produtores de leite.
- As duas premissas e a conclusão consistem em proposições distintas, tornando impossível formalizar o argumento (mantendo sua validade) por meio do CPC. Para tal, faz-se necessário um sistema que não se limite às sentenças, mas também permita trabalhar os elementos que a constituem (sujeito, predicado etc.), ou seja, um cálculo de predicados de primeira ordem. E ainda, precisamos lidar com a quantificação (todos, algum(ns), nenhum). Para satisfazer essas condições, temos o Cálculo Quantificacional Clássico.
Do CPC para o CQC
- Tanto o CPC quanto o CQC são sistemas da lógica clássica, ou seja, ambos compartilham os mesmos princípios: bivalência, não-contradição, terceiro excluído e identidade. De fato, pode-se considerar o CQC como uma extensão do CPC, ou então, o CPC como um subsistema do CQC.
- O que muda então de um sistema para outro?
- Em primeiro, enquanto o CPC lida com letras sentenciais – uma letra do alfabeto romano maiúscula representa uma proposição e consiste numa fórmula atômica, enquanto uma letra do alfabeto grego minúscula representa uma fórmula qualquer – o CQC lida com constantes individuais, constantes de predicados e variáveis individuais.
- Em segundo, no CQC aparece outro tipo de operador: os quantificadores. Estes, diferente da negação e dos conectivos, não são funções de verdade. Mesmo porque, o CPC já contém todas funções de verdade que o princípio de bivalência permite (ver: Funções de Verdade).
Constantes individuais e de predicados
- Constantes são coisas que tem sempre o mesmo valor dentro de um sistema. Por exemplo, o valor de π é sempre o mesmo, seja na fórmula do comprimento da circunferência (), seja na fórmula da área do círculo (), qualquer que seja o valor de r. No CQC teremos dois tipos de constantes: constantes individuais e constantes de predicado.
- As constantes individuais, evidentemente, são indivíduos: Aristóteles, Gödel, João, Maria, o gato do vizinho, o irmão do Pedro etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano minúsculas: a, b, c, d, e... . Evitando usar as letras x, y e z, que são canonicamente usadas como variáveis, como será falado adiante. Também é lícito usar números juntamente com as letras. Ex: “m1” para designar “Maria Silveira” e “m2” para designar “Maria Oliveira”.
- As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: A, B, C, D, E etc.
- Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é matemático” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas.
- Contudo, é claro que sentenças formadas por estas constantes – “Aristóteles é matemático”, “Gödel é matemático”, “Aristóteles é filósofo” e “Gödel é filósofo” – são valoráveis como verdadeiro ou falso. Ou seja, são proposições. Para representá-las, basta colocar as constantes individuais à direita das constantes de predicado (podendo estar sub-escritas ou não). Assim, se “g” significa “Gödel”, “a” significa “Aristóteles”; “M”, “...é matemático” e “F”, “é filósofo”; então “Mg” significa “Gödel é matemático”; “Ma”, “Aristóteles é matemático”; “Fg” significa “Gödel é filósofo” e “Fa”, “Aristóteles é filósofo”. Constantes individuais atribuídas a uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do CQC. E podemos usar todos operadores do CPC com elas. Por exemplo, usando as mesmas constantes acima, podemos construir as fórmulas:
- “Aristóteles não é matemático”.
- “Aristóteles é filósofo e Gödel é matemático”.
- “Aristóteles é filósofo ou matemático”.
- “Se Gödel é filósofo, então Gödel é matemático”.
- “Gödel é matemático se e somente se Aristóteles é matemático”.
- Voltando a tratar de fórmulas atômicas, estas podem ter mais de uma constante individual, quando se atribui a um indivíduo uma propriedade em relação a outro indivíduo. Por exemplo, digamos que vamos formalizar a sentença “João beijou Maria”. Teremos as constantes individuais j (para João) e m (para Maria), e a constante de predicado B para “...beijou...”. A fórmula fica então: .
- Poderíamos formalizar isto de outra forma, considerando a constante de predicado B como “...foi beijado(a) por...”. A fórmula fica então: .
- Em algumas circunstâncias, é possível sermos econômicos e poupar as fórmulas de constantes individuais. Por exemplo, digamos um sistema no qual só a Maria é beijada e tudo que Maria faz é ser beijada. Então podemos considerar a constante B como “...beijou Maria”. A sentença “João e Pedro(p) beijaram Maria” fica assim: .
- Por fim, é lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito, por exemplo: C para “Está chovendo”. Assim podemos formalizar uma proposição como “Se está chovendo, então Maria não saiu de casa” assim: . Sendo S a constante de predicado “...saiu de casa”.
Variáveis individuais e Quantificadores
- Até agora o que vimos não distingue muito o CQC do CPC. Todas as fórmulas tautológicas no CPC são fórmulas válidas no CQC, por exemplo: , , etc. Também, os mesmos argumentos que são válidos no CPC também são válidos no CQC, por exemplo: , etc.
- Contudo, ainda não temos o suficiente para formalizar sentenças como “Alguém comeu a última fatia de bolo”. Os recursos usados para tal são o diferencial do CQC em relação ao CPC.
- Analisemos a sentença citada acima. “Alguém” significa algum indivíduo indeterminado do sistema em questão. Digamos que o sistema seja uma família de três indivíduos: : Brian (b), Lisa (l) e Brian Júnior (j). Neste caso, sendo C a constante de predicado “... comeu a última fatia de bolo”, a sentença poderia ser formalizada assim: .
- Contudo, a quantidade de constantes individuais pode ser tão grande que isto se tornar impraticável, por exemplo: “Alguns brasileiros cursam o Ensino Superior”. Neste caso, há milhões de constantes individuais. E ainda há sistemas nos quais não há informação sobre o número de constantes individuais. Portanto, serão usadas variáveis para representar estes indivíduos indeterminados.
- Mas só a adição de variáveis não é suficiente. Vejamos o sistema da família de três indivíduos. Digamos que neste sistema tenhamos a seguinte sentença: “Todos estão assistindo TV”. Sendo “A” a constante de predicado “...está assistindo TV”, neste caso poderíamos fazer assim: . Mais uma vez, esta solução é impraticável caso haja um número muito grande de constantes individuais ou não haja informação sobre este número. Portanto, serão usadas variáveis nestes casos também. Assim, se faz necessário algo para diferenciar “Alguns As são Bs” de “Todo A é B”. Isto é feito com os quantificadores. Existem dois quantificadores no CQC: universal () e existencial (). Funcionam assim:
- Sendo x uma variável individual,
- significa “Para todo x, P é predicado de x”.
- significa “Existe algum x, tal que P é predicado de x”.
- Os quantificadores não são funções de verdade. Não é possível chegar ao valor de verdade de ou a partir do valor de .
Formalização de Sentenças
- Agora vejamos como formalizar sentenças com quantificadores no sistema CQC.
- “Toda espécie de mamífero é produtora de leite”.
- Não podemos usar o sujeito da sentença como constante individual. Afinal, não se trata de um indivíduo, mas de um conjunto de indivíduos. Precisaremos usar uma variável (x) e um quantificador, no caso, o universal. Vamos usar M para “... é espécie de mamífero” e L para “... é produtor de leite”. A fórmula fica:
- Ou seja: Para todo x, se x é espécie de mamífero, então x é produtor de leite.
Tablôs Semânticos no CQC
Dedução Natural no CQC
Símbolos de identidade e funcionais (CQCf=)
Formalização de sistemas pelo CQC
Fomalização da Aritmética pelo CQC
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