Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais

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Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma $a/b\,\!,$ onde $b\,\!$ é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

${\frac {29}{8}}:$ $3(={\frac {3}{1}}):$ $-{\frac {29}{8}}:$ $3{\frac {5}{8}}:$ $0(={\frac {0}{x}})$

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

${\begin{matrix}{a \over b}&+&{c \over d}&=&{ad+bc \over bd}\\{a \over b}&\cdot &{c \over d}&=&{ac \over bd}\end{matrix}}$

Exemplo:

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {1}{2}}$

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

$\mathbb {Q}$

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como ${\frac {a}{b}},$ designa este número ${a}\,\!$ dividido em ${b}\,\!$ partes iguais. Neste caso, ${a}\,\!$ corresponde ao numerador, enquanto ${b}\,\!$ corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração ${\frac {56}{8}}$ designa o quociente de $56\,\!$ por $8\,\!.$ Ela é igual a $7\,\!,$ pois $7\,\!$ x $8\,\!$ = $56\,\!.$

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb {Q} .$

$\mathbb {Q}$ = {$x\,\!$ / $x\,\!$ = ${\frac {a}{b}},$ com $a\in \mathbb {Z}$ e $b\in \mathbb {Z}$ $\neq 0$}

Decimais

Decimais exatos

${\frac {1}{2}}$ = $0,5\,\!$

${\frac {1}{5}}$ = $0,2\,\!$

Decimais periódicos

${\frac {5}{3}}$ = $1,66...\,\!$ (a)

${\frac {7}{6}}$ = $1,166...\,\!$ (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

$0,6666..\,\!\Rightarrow {\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$

$1,6666...\,\!=1\,\!+0,6\,\!\Rightarrow 1\,\!+{\frac {6}{9}}={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}$

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

$1,166...\,\!$ => $1\,\!$ + $0,166...\,\!$ = $1\,\!$ + ${\frac {15}{90}}$ = ${\frac {105}{90}}$ = ${\frac {7}{6}}$

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {21}{9}}\end{matrix}}$

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3804014}{99900}}\end{matrix}}$, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3807821-3807}{99900}}\end{matrix}}$.

Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: ${\frac {1}{2}}$
• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: ${\frac {7}{3}}$
• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2{\frac {1}{3}}$
• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: ${\frac {12}{4}}$
• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: ${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$
• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: ${\frac {9}{22}}$
• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: ${\frac {1}{3}}$
• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}}={\frac {3}{5}}$

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: ${\frac {437}{100}}$
• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: ${\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}$
• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ da seguinte maneira $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}.$ Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

${3 \over 5}\times {2 \over 7}={\frac {{3}\times {2}}{{5}\times {7}}}={6 \over 35}$

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

$3\times {1 \over 4}={3 \over 1}\times {1 \over 4}={3 \over 4}$

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

${1 \over 3}\times {9 \over 2}={9 \over 6}={\not {9}^{3} \over \not {6}^{2}}={3 \over 2}\,$

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

${1 \over 3}\times {9 \over 2}={1 \over \not {3}^{1}}\times {\not {9}^{3} \over 2}={3 \over 2}\,$

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

${\frac {3}{5}}$ ÷ ${\frac {7}{2}}$

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

${\frac {3}{5}}\times {\frac {2}{7}}={6 \over 35}$

Que se resolve como mostrado acima.

Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

${{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}$

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

${15 \over {3}}={5}$   ∴   $5\times {2}={10}:$ ${15 \over {5}}={3}$   ∴   $3\times {3}={9}$

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

${\frac {10+9}{15}}$

O denominador comum é mantido:

${\frac {19}{15}}$

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={{1}^{2} \over {2}^{2}}={\frac {1}{4}}=0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={({0,5})^{2}}=0,25$

Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{{2} \over {3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}={\sqrt[{3}]{64}}={4}$

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

${\frac {8}{4}}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

${\frac {8:4}{4:4}}={{2} \over {1}}$

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

${\frac {2}{5}}$   ?   ${\frac {3}{7}}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

${35 \over {5}}={7}$   ∴   $7\times {2}={14}:$ ${35 \over {7}}={5}$   ∴   $5\times {3}={15}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

${\frac {14}{35}}$ < ${\frac {15}{35}}$ ∴ ${\frac {2}{5}}$ < ${\frac {3}{7}}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

${\frac {14}{35}}={\frac {2}{5}}$   e   ${\frac {15}{35}}={\frac {3}{7}}$

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

${\frac {7}{3}}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2{\frac {1}{3}}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Referências

Wikipédia

1. Fração
2. Números racionais