Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): mudanças entre as edições
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<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | |||
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== Trigonométricas II == | == Trigonométricas II == | ||
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=== Tangente e secante === | === Tangente e secante === | ||
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois | Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo ''x'', teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por <math>[\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]</math> e o valor inicial <math>(\Delta x)</math> é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que: | ||
<math>tg(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> | ||
que é: | que é: | ||
<math>tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan x\ ,\ \sec x</math> ou <math>\tan (x)\ ,\ \sec (x)</math> para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | {{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan x\ ,\ \sec x</math> ou <math>\tan (x)\ ,\ \sec (x)</math> para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | ||
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Para definir ''h'', a hipotenusa, façamos : | Para definir ''h'', a hipotenusa, façamos : | ||
<math>h^2 (x)= 1^2 + tg^2 (x) </math> | <math>h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x) </math> | ||
<math>h^2 (x)= 1^2 + \frac{sen^2 (x)}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math> | ||
<math>h^2 (x)= \frac{cos^2 (x) + sen^2 (x)}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math> | ||
Da identidade relacional temos: | Da identidade relacional temos: | ||
<math>h^2 (x)= \frac{1}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)} </math> | ||
portanto: | portanto: | ||
<math>h(x)= \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>h(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
Este valor é o que chamamos de '''secante''', que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que: | Este valor é o que chamamos de '''secante''', que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que: | ||
<math>sec(x)= \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente. | Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente. | ||
==== Identidades (2)==== | ==== Identidades (2)==== | ||
Linha 48: | Linha 49: | ||
==== I-14 Relacionando tangente e secante ==== | ==== I-14 Relacionando tangente e secante ==== | ||
Seja ''x'' uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre <math>tg(x)\ e\ sec(x)</math> podemos afirmar que: | Seja ''x'' uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre <math>\ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)</math> podemos afirmar que: | ||
<math>1 + tg^2(x)=sec^2(x) </math> | <math>1 + \ \mbox{tg}^2(x)=\sec^2(x) </math> | ||
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante. | Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante. | ||
Linha 58: | Linha 59: | ||
Sendo ''a'' e ''b'' dois ângulos no ciclo trigonométrico: | Sendo ''a'' e ''b'' dois ângulos no ciclo trigonométrico: | ||
<math>tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Linha 64: | Linha 65: | ||
Considerando a definição da tangente temos: | Considerando a definição da tangente temos: | ||
<math>tg(a-b)= \frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}-\frac{sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}} | ||
{\frac{cos(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}</math> | {\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}-\frac{sen(b)}{cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} | ||
{1+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}</math> | {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}-\frac{sen(b)}{cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} | ||
{1+\frac{sen(a)}{cos(a)}\frac{sen(b)}{cos(b)}}</math> | {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}</math> | ||
Resultando em: | Resultando em: | ||
<math>tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
Linha 85: | Linha 86: | ||
==== I-16 Tangente da soma ==== | ==== I-16 Tangente da soma ==== | ||
<math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | |||
<math>tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)tg(b)} </math> | |||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Linha 92: | Linha 92: | ||
Admitamos <math>b = - b</math> e teremos pela tangente da diferença: | Admitamos <math>b = - b</math> e teremos pela tangente da diferença: | ||
<math>tg(a-(-b))=\frac{tg(a)-tg(-b)}{1+tg(a)tg(-b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)} </math> | ||
Considerando que a tangente é: | Considerando que a tangente é: | ||
<math>tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math> | ||
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo: | E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo: | ||
<math>tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
Linha 106: | Linha 106: | ||
==== Derivada da tangente ==== | ==== Derivada da tangente ==== | ||
Seja <math>f(x)=tg(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} tg(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | Seja <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | ||
<math>f(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} </math> | <math>f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math> | ||
logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{cos(x)cos(x)-sen(x)[-sen(x)]}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{cos^2 (x)+sen^2 (x)}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{1}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=sec^2 (x)</math> | <math>f\ '(x)=\sec^2 (x)</math> | ||
==== Derivada da secante ==== | ==== Derivada da secante ==== | ||
Seja <math>f(x)=sec(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sec(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | Seja <math>f(x)=\sec(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | ||
<math>f(x) = \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>f(x) = \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x) = \frac{cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-sen(x))}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x) = \frac{sen(x)}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} \cdot \frac{1}{cos(x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}</math> | ||
O que nos revela: | O que nos revela: | ||
<math>f\ '(x) = tg(x)sec(x) </math> | <math>f\ '(x) = \ \mbox{tg}(x)\sec(x) </math> | ||
==== Integral da tangente ==== | ==== Integral da tangente ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=tg(x) | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x) </math>, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que: | ||
<math>F(x)= \int tg(x) dx</math> | <math>F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx</math> | ||
<math>F(x)= \int \frac{sen(x)}{cos(x)} dx</math> | <math>F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx</math> | ||
Por outro lado, se: | Por outro lado, se: | ||
<math>u=cos(x) | <math>u=\cos(x) </math> | ||
<math>du=-sen(x)dx | <math>du=-\ \mbox{sen}(x)dx </math> | ||
O que nos possibilita afirmar que: | O que nos possibilita afirmar que: | ||
Linha 158: | Linha 158: | ||
<math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math> | <math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math> | ||
<math>F(x)= - \ln|cos(x)| | <math>F(x)= - \ln|\cos(x)| </math> | ||
<math>F(x)= \ln \left|\frac{1}{cos(x)} \right| </math> | <math>F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| </math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>F(x)= \ln|sec(x)| + C | <math>F(x)= \ln|\sec(x)| + C </math> | ||
==== Integral da secante ==== | ==== Integral da secante ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=sec(x)</math>, dizemos que sua integral é a função <math>F(x)</math> e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue: | Seja a função <math>f(x)=\sec(x)</math>, dizemos que sua integral é a função <math>F(x)</math> e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue: | ||
<math>F(x)=\int sec(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \sec(x) dx </math> | ||
multiplicando e dividindo <math>sec(x) + tg(x)</math>: | multiplicando e dividindo <math>\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>: | ||
<math>F(x)=\int \frac{sec^2(x)+sec(x)tg(x)}{sec(x)+tg(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx</math> | ||
Por outro lado, se: | Por outro lado, se: | ||
<math>u = sec(x) + tg(x)</math>, | <math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>, | ||
<math>du = [sec(x)tg(x) + sec^2(x)]dx</math> | <math>du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx</math> | ||
logo, por substituição, temos: | logo, por substituição, temos: | ||
<math>\int \frac{du}{u} </math>, sendo <math>u = sec(x) + tg(x)</math>, o que nos permite fazer: | <math>\int \frac{du}{u} </math>, sendo <math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>, o que nos permite fazer: | ||
<math>F(x)= \ln |u|</math> | <math>F(x)= \ln |u|</math> | ||
Linha 190: | Linha 190: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>F(x)=\ln|sec(x) + tg(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)| + C </math> | ||
=== Cotangente e cossecante === | === Cotangente e cossecante === | ||
Linha 197: | Linha 197: | ||
cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo ''y'' e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo ''x'', a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo ''x'' é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo ''y''. Para verificar essa relação observe o gráfico: | cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo ''y'' e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo ''x'', a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo ''x'' é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo ''y''. Para verificar essa relação observe o gráfico: | ||
[[ | [[Imagem:Circunferência trigonométrica.svg|400px]] | ||
'''Figura 8''' | '''Figura 8''' | ||
Linha 206: | Linha 206: | ||
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que: | Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que: | ||
<math>\frac{1}{cotg(x)}=\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
O que nos revela: | O que nos revela: | ||
<math>cotg(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>\ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\cot x\ ,\ \csc x</math> ou <math>\cot (x)\ ,\ \csc (x)</math> para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | {{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\cot x\ ,\ \csc x</math> ou <math>\cot (x)\ ,\ \csc (x)</math> para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | ||
Linha 216: | Linha 216: | ||
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação: | Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação: | ||
<math>\frac{1}{cosec(x)}=\frac{cos(x)}{cotg(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}</math> | ||
<math>\frac{1}{cosec(x)}=cos(x)\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
Que define a cossecante como: | Que define a cossecante como: | ||
<math>cosec(x)=\frac{1}{sen(x)}</math> | <math>\ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Linha 231: | Linha 231: | ||
'''Conseqüentes das definições:''' | '''Conseqüentes das definições:''' | ||
<math>sen(x)cosec(x)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1</math> | ||
<math>cos(x)sec(x)=1</math> | <math>\cos(x)\sec(x)=1 </math> | ||
<math>tg(x)cotg(x)=1</math> | <math>\mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1</math> | ||
==== Derivada da cotangente ==== | ==== Derivada da cotangente ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=cotg(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{sen(x)[-sen(x)]-cos(x)cos(x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=-\frac{sen^2 (x)+cos^2 (x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=-\frac{1}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=-cosec^2 (x)</math> | <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)</math> | ||
==== Derivada da cossecante ==== | ==== Derivada da cossecante ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=cosec(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{1}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{sen(x)\cdot 0 - 1 \cdot cos(x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{-cos(x)}{sen(x)} \cdot \frac{1}{sen(x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=-cotg(x)cosec(x)</math> | <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)</math> | ||
==== Integral da cotangente ==== | ==== Integral da cotangente ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=cotg(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Sua integral é: | Sua integral é: | ||
<math>F(x)=\int cotg(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx </math> | ||
<math>F(x)=\int \frac{cos(x)}{sen(x)} dx </math> | <math>F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx </math> | ||
Sendo <math>u=sen(x)<math>: | Sendo <math>u=\ \mbox{sen}(x)</math>: | ||
<math>du= cos(x) dx</math> | <math>du= \cos(x) dx</math> | ||
Logo: | Logo: | ||
Linha 294: | Linha 294: | ||
E, por substituição: | E, por substituição: | ||
<math>F(x)=ln|sen(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C </math> | ||
==== Integral da cossecante ==== | ==== Integral da cossecante ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=cosec(x)</math>, | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, | ||
Sua integral é: | Sua integral é: | ||
<math>F(x)=\int cosec(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx </math> | ||
Sendo <math>u=cotg(x)-cosec(x)</math>: | Sendo <math>u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)</math>: | ||
<math>du= [cosec^2 (x) | <math>du= [-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx</math> | ||
Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior: | Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior: | ||
<math>F(x)=\int \frac{cosec^2 (x) | <math>F(x)=\int \frac{-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx </math> | ||
Logo: | Logo: | ||
Linha 318: | Linha 318: | ||
E, por substituição: | E, por substituição: | ||
<math>F(x)=ln|cotg(x)-cosec(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C </math> | ||
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Linha 329: | Linha 328: | ||
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''. | A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''. | ||
=== | === arcseno e arccosseno === | ||
Conforme o anteriormente | Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno ''x'' e o arco que forma um cosseno ''x'', para isto cabe uma observação: | ||
#:O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em <math>(- \infty , \infty)</math>, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo. | #:O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em <math>(- \infty , \infty)</math>, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo. | ||
Linha 339: | Linha 338: | ||
Assim, dizemos que: | Assim, dizemos que: | ||
<math>y=arcsen(x)\ \exists \quad \forall \ x=sen(y) \ | <math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math> | ||
Da mesma forma que: | Da mesma forma que: | ||
<math>y=arccos(x)\ \exists \quad \forall \ x=cos(y) \ | <math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land y \in\ \left [0,\pi\right ] </math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
==== Derivadas do arcseno e arccosseno ==== | ==== Derivadas do arcseno e arccosseno ==== | ||
Seja a função <math>y=arcsen(x)</math>, sendo a sua inversa: | Seja a função <math>y=\ \mbox{arcsen}(x) </math>, sendo a sua inversa: | ||
<math>x=sen(y)</math>, | <math>x=\ \mbox{sen}(y)</math>, | ||
podemos operá-la desta forma: | podemos operá-la desta forma: | ||
<math>dx=cos(y)dy</math> | <math>dx=\cos(y)dy</math> | ||
<math>\frac{dx}{dy}=cos(y)</math>, | <math>\frac{dx}{dy}=\cos(y)</math>, | ||
Por outro lado: | Por outro lado: | ||
<math>sen^2(y)+cos^2(y)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1</math> | ||
<math>cos(y)=\sqrt{1-sen^2(y)}</math> | <math>\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}</math> | ||
<math>cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math> | <math>\cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math> | ||
O que nos dá: | O que nos dá: | ||
Linha 374: | Linha 374: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
Ainda temos que a função <math>z=arccos(x)</math>, sendo a sua inversa: | Ainda temos que a função <math>z=\ \mbox{arccos}(x)</math>, sendo a sua inversa: | ||
<math>x=cos(z)</math>, | <math>x=\cos(z)</math>, | ||
podemos operá-la desta forma: | podemos operá-la desta forma: | ||
<math>dx=-sen(z)dz</math> | <math>dx=-\ \mbox{sen}(z)dz</math> | ||
<math>\frac{dx}{dz}=-sen(z)</math>, | <math>\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)</math>, | ||
Por outro lado: | Por outro lado: | ||
<math>sen^2(z)+cos^2(z)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1</math> | ||
<math>sen(z)=\sqrt{1-cos^2(z)}</math> | <math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}</math> | ||
<math>sen(z)=\sqrt{1-x^2}</math> | <math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}</math> | ||
O que nos dá: | O que nos dá: | ||
Linha 413: | Linha 413: | ||
<math>x=tg(y)</math>, | <math>x=tg(y)</math>, | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan^{-1} x\ ,\ \cot^{-1} x</math> ou <math>\tan^{-1} (x)\ ,\ \cot^{-1} (x)</math> ou <math>\arctan x\ ,\ \arccot x</math> ou ainda <math>\arctan (x)\ ,\ \arccot (x)</math>para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
tangente de ''y'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco. | tangente de ''y'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco. | ||
Linha 476: | Linha 478: | ||
Definimos a função: | Definimos a função: | ||
<math>y=arcsec(x)</math>, | <math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math>, | ||
arcsecante de ''x'', como a inversa da função: | arcsecante de ''x'', como a inversa da função: | ||
<math>x=sec(y)</math>, | <math>x=\sec(y) </math>, | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sec^{-1} x\ ,\ \csc^{-1} x</math> ou <math>\sec^{-1} (x)\ ,\ \csc^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsec x\ ,\ \arccsc x</math> ou <math>\arcsec (x)\ ,\ \arccsc (x)</math> para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | ||
A função <math>arcsec(x)</math> é relacionada a função <math>arccos(x)</math> como segue: | A função <math>\ \mbox{arcsec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arccos}(x)</math> como segue: | ||
<math>arcsec(x)=arccos \left(\frac{1}{x} \right)</math> | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)</math> | ||
Do mesmo modo podemos definir a função: | Do mesmo modo podemos definir a função: | ||
<math>z=arccosec(t)</math>, | <math>z=\ \mbox{arccosec}(t)</math>, | ||
arccosecante de ''t'', como a inversa da função: | arccosecante de ''t'', como a inversa da função: | ||
<math>t=cosec(z)</math>, | <math>t=\ \mbox{cosec}(z)</math>, | ||
cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | ||
A função <math>arccosec(x)</math> é relacionada a função <math>arcsen(x)</math> como segue: | A função <math>\ \mbox{arccosec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arcsen}(x)</math> como segue: | ||
<math>arcsec(x)=arcsen \left(\frac{1}{x} \right)</math> | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)</math> | ||
==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ==== | ==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ==== | ||
Linha 506: | Linha 510: | ||
Seja a função: | Seja a função: | ||
<math>y=arcsec(x)</math> | <math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math> | ||
que tem correspondência em: | que tem correspondência em: | ||
<math>arcsec(x)=arccos \left (\frac{1}{x} \right)</math> | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)</math> | ||
Sendo: | Sendo: | ||
<math>\frac{d[arccos(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)</math> | <math>\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
Linha 534: | Linha 538: | ||
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas: | Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas: | ||
<math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arcsen(x)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \ \mbox{arcsen}(x)+C</math> | ||
<math>\int \frac{dx}{1+x^2} = arctg(x)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{1+x^2} = \ \mbox{arctg}(x)+C</math> | ||
<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = arcsec(|x|)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \ \mbox{arcsec}(|x|)+C</math> | ||
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''. | Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''. | ||
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Linha 556: | Linha 558: | ||
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole <math>y=\frac{1}{2x}</math>, onde encontramos: | A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole <math>y=\frac{1}{2x}</math>, onde encontramos: | ||
<math>senh(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | <math>\ \mbox{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | ||
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão: | A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão: | ||
<math>cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | <math>\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | ||
Sendo obtida de forma similar a anterior. | Sendo obtida de forma similar a anterior. | ||
Linha 568: | Linha 570: | ||
==== Relacionando seno e cosseno hiperbólico ==== | ==== Relacionando seno e cosseno hiperbólico ==== | ||
Considere a operação: <math>cosh^2 (x) - senh^2 (x) </math>, | Considere a operação: <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) </math>, | ||
Da definição temos: | Da definição temos: | ||
Linha 582: | Linha 584: | ||
logo: | logo: | ||
<math>cosh^2 (x) - senh^2 (x) = 1</math> | <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) = 1</math> | ||
==== Derivada do seno hiperbólico ==== | ==== Derivada do seno hiperbólico ==== | ||
Seja a função seno hiperbólico <math>y=senh(x)</math>, podemos dizer que: | Seja a função seno hiperbólico <math>y=\ \mbox{senh}(x)</math>, podemos dizer que: | ||
<math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | <math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | ||
Linha 599: | Linha 600: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=cosh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\cosh(x)</math> | ||
==== Derivada do cosseno hiperbólico ==== | ==== Derivada do cosseno hiperbólico ==== | ||
Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=cosh(x)</math>, podemos dizer que: | Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=\cosh(x)</math>, podemos dizer que: | ||
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | <math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | ||
Linha 616: | Linha 616: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=senh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{senh}(x)</math> | ||
==== Integral do seno hiperbólico ==== | ==== Integral do seno hiperbólico ==== | ||
Linha 633: | Linha 632: | ||
Concluimos que: | Concluimos que: | ||
<math>\int senh(x) = cosh(x) + C </math> | <math>\int \ \mbox{senh}(x) = \cosh(x) + C </math> | ||
==== Integral do cosseno hiperbólico ==== | ==== Integral do cosseno hiperbólico ==== | ||
Linha 649: | Linha 648: | ||
Concluimos que: | Concluimos que: | ||
<math>\int cosh(x) = senh(x) + C </math> | <math>\int \cosh(x) = \ \mbox{senh}(x) + C </math> | ||
=== Tangente e secante hiperbólicas === | === Tangente e secante hiperbólicas === | ||
Linha 655: | Linha 654: | ||
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como: | Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como: | ||
<math>tgh(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>tgh(x)=\frac{senh(x)}{cosh(x)}</math> | <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}</math> | ||
A secante hiperbólica é definida como: | A secante hiperbólica é definida como: | ||
<math>sech(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}</math> | <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}</math> | ||
==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ==== | ==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ==== | ||
Linha 673: | Linha 672: | ||
Vamos desenvolver a expressão abaixo: | Vamos desenvolver a expressão abaixo: | ||
<math>1-tgh^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)</math> | ||
<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math> | <math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math> | ||
Linha 683: | Linha 682: | ||
<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} </math> | <math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} </math> | ||
<math>\frac{1}{cosh^2(x)}</math> | <math>\frac{1}{\cosh^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>1-tgh^2(x)=sech^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da tangente hiperbólica ==== | ==== Derivada da tangente hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>y=tgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math> | ||
Linha 697: | Linha 696: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( cosh^2(x) \right) - \left( senh^2(x) \right)}{\left( cosh^2(x) \right)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh^2(x)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=sech^2(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da secante hiperbólica ==== | ==== Derivada da secante hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>y=sech(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math> | ||
Linha 718: | Linha 716: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-sech(x)tgh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)</math> | ||
==== Integral da tangente hiperbólica ==== | ==== Integral da tangente hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=tgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>F(x)=\int \frac{senh(x)}{cosh(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx</math> | ||
Se fizermos: | Se fizermos: | ||
<math>u=cosh(x)</math> | <math>u=\cosh(x)</math> | ||
<math>du=senh(x)dx</math> | <math>du=\ \mbox{senh}(x)dx</math> | ||
verificamos: | verificamos: | ||
Linha 740: | Linha 738: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>F(x)=\ln |cosh(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln |\cosh(x)| + C </math> | ||
==== Integral da secante hiperbólica ==== | ==== Integral da secante hiperbólica ==== | ||
Linha 750: | Linha 748: | ||
A cotangente hiperbólica é definida como: | A cotangente hiperbólica é definida como: | ||
<math>cotgh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>cotgh(x)=\frac{cosh(x)}{senh(x)}</math> | <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}</math> | ||
A cosecante hiperbólica é definida como: | A cosecante hiperbólica é definida como: | ||
<math>cosech(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>cosech(x)=\frac{1}{senh(x)}</math> | <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}</math> | ||
==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ==== | ==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ==== | ||
Linha 769: | Linha 766: | ||
Vamos desenvolver a expressão abaixo: | Vamos desenvolver a expressão abaixo: | ||
<math>1-cotgh^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)</math> | ||
<math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 </math> | <math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 </math> | ||
Linha 779: | Linha 776: | ||
<math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} </math> | <math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} </math> | ||
<math>-\frac{1}{senh^2(x)}</math> | <math>-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>1-cotgh^2(x)=cosech^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da cotangente hiperbólica ==== | ==== Derivada da cotangente hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>y=cotgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
Linha 793: | Linha 790: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( senh^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( senh^2(x) \right)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{senh^2(x)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-cosech^2(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da cossecante hiperbólica ==== | ==== Derivada da cossecante hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>y=cosech(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{cosech}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}</math> | ||
Linha 814: | Linha 810: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-cosech(x)cotgh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)</math> | ||
==== Integral da cotangente hiperbólica ==== | ==== Integral da cotangente hiperbólica ==== | ||
Seja a função <math>f(x)=cotgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>F(x)=\int \frac{cosh(x)}{senh(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx</math> | ||
Se fizermos: | Se fizermos: | ||
<math>u=senh(x)</math> | <math>u=\ \mbox{senh}(x)</math> | ||
<math>du=cosh(x)dx</math> | <math>du=\cosh(x)dx</math> | ||
verificamos: | verificamos: | ||
Linha 836: | Linha 832: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>F(x)=\ln |senh(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C </math> | ||
==== Integral da cossecante hiperbólica ==== | ==== Integral da cossecante hiperbólica ==== | ||
Linha 862: | Linha 858: | ||
=== argsenh e argcosenh === | === argsenh e argcosenh === | ||
Agora consideremos a função '''<math>t=senh(x)</math>''', então: | Agora consideremos a função '''<math>t=\ \mbox{senh}(x)</math>''', então: | ||
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> | <math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> | ||
Linha 884: | Linha 880: | ||
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)</math> que é: | Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)</math> que é: | ||
<math>argsenh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math> | <math>\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math> | ||
No caso de '''<math>t=cosh(x)</math>''', a dedução é similar: | No caso de '''<math>t=\cosh(x) </math>''', a dedução é similar: | ||
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> | <math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> | ||
Linha 908: | Linha 904: | ||
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é: | Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é: | ||
<math>argcosh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>, <math>|x|>1</math> | <math>\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>, <math>|x|>1</math> | ||
==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ==== | ==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ==== | ||
Linha 914: | Linha 910: | ||
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos: | Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos: | ||
'''<math>y=argsenh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>''' | '''<math>y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>''' | ||
de onde deduzimos: | de onde deduzimos: | ||
Linha 928: | Linha 924: | ||
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E para '''<math>y=argcosh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>''' | E para '''<math>y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>''' | ||
de onde deduzimos: | de onde deduzimos: | ||
Linha 946: | Linha 942: | ||
=== argtgh e argsech === | === argtgh e argsech === | ||
Considerando '''<math>t=tgh(x)</math>''', temos: | Considerando '''<math>t=\ \mbox{tgh}(x)</math>''', temos: | ||
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
Linha 958: | Linha 954: | ||
<math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0</math> | <math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0</math> | ||
cujas raízes são: | |||
<math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math> | <math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math> | ||
Linha 970: | Linha 966: | ||
<math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math> | <math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math> | ||
Que é a inversa da <math>tgh(x)</math>, portanto: | Que é a inversa da <math>\ \mbox{tgh}(x)</math>, portanto: | ||
<math>argtgh(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | <math>\ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | ||
Ou, | Ou, | ||
<math>argtgh(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | <math>\ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | ||
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Considerando '''<math>t=\ \mbox{sech}(x)</math>''', temos: | |||
Considerando '''<math>t=sech(x)</math>''', temos: | |||
<math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
Linha 1 008: | Linha 1 002: | ||
Que é a inversa da <math>sech(x)</math>, portanto: | Que é a inversa da <math>sech(x)</math>, portanto: | ||
<math>argsech(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, <math>0 < x < 1 </math> | <math>\ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, <math>0 < x < 1 </math> | ||
==== Derivadas de argtgh e argsech ==== | ==== Derivadas de argtgh e argsech ==== | ||
Seja '''<math>y = argtgh(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}</math>, <math>|x|<1</math> | Seja '''<math>y = \ \mbox{argtgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}</math>, <math>|x|<1</math> | ||
Deduzimos que sua derivada é: | Deduzimos que sua derivada é: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[argtgh(x)]}{dx}</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}</math> | ||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]</math> | ||
Linha 1 031: | Linha 1 024: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|<1</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|<1</math> | ||
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não | Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio. | ||
---- | ---- | ||
Seja '''<math>y = argsech(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, | Seja '''<math>y = \ \mbox{argsech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, | ||
Deduzimos que sua derivada é: | Deduzimos que sua derivada é: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[argsenh(x)]}{dx}</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}</math> | ||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | ||
Linha 1 059: | Linha 1 052: | ||
=== argcotgh e argcosech === | === argcotgh e argcosech === | ||
Considerando '''<math>t=cotgh(x)</math>''', temos: | Considerando '''<math>t=\ \mbox{cotgh}(x)</math>''', temos: | ||
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
Linha 1 071: | Linha 1 064: | ||
<math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0</math> | <math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0</math> | ||
cujas raízes são: | |||
<math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math> | <math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math> | ||
Linha 1 083: | Linha 1 076: | ||
<math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math> | <math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math> | ||
Que é a inversa da <math>cotgh(x)</math>, portanto: | Que é a inversa da <math>\ \mbox{cotgh}(x)</math>, portanto: | ||
<math>argcotgh(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | <math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | ||
Ou, | Ou, | ||
<math>argcotgh(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | <math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | ||
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Considerando '''<math>t=\ \mbox{cosech}(x)</math>''', temos: | |||
Considerando '''<math>t=cosech(x)</math>''', temos: | |||
<math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
Linha 1 120: | Linha 1 112: | ||
Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto: | Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto: | ||
<math>argcosech(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math> | <math>\ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math> | ||
==== Derivadas de argcotgh e argcosech ==== | ==== Derivadas de argcotgh e argcosech ==== | ||
Seja '''<math>y = argcotgh(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}</math>, <math>|x|>1</math> | Seja '''<math>y = \ \mbox{argcotgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}</math>, <math>|x|>1</math> | ||
Deduzimos que sua derivada é: | Deduzimos que sua derivada é: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[argcotgh(x)]}{dx}</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}</math> | ||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]</math> | ||
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Seja '''<math>y = argcosech(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>, | Seja '''<math>y = \ \mbox{argcosech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>, | ||
Deduzimos que sua derivada é: | Deduzimos que sua derivada é: | ||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[ | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}</math> | ||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | ||
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As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo. | As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo. | ||
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Edição atual tal como às 16h45min de 2 de fevereiro de 2019
Trigonométricas II
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.
Tangente e secante
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]} e o valor inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta x)} é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}}
que é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h, a hipotenusa, façamos :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} }
Da identidade relacional temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)} }
portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x)= \frac{1}{\cos(x)} }
Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} }
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.
Identidades (2)
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.
I-14 Relacionando tangente e secante
Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)} podemos afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + \ \mbox{tg}^2(x)=\sec^2(x) }
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.
I-15 Tangente da diferença
Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}} {\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}}
Resultando em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
O que comprova a identidade.
I-16 Tangente da soma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
Comprovação:
Admitamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = - b} e teremos pela tangente da diferença:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)} }
Considerando que a tangente é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} }
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
O que comprova a identidade.
Derivada da tangente
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{tg}(x)} , uma função contínua em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) } , visto que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists } , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} }
logo, pela derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\sec^2 (x)}
Derivada da secante
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\sec(x)} , uma função contínua em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) } , visto que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists } , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{\cos(x)} }
logo, pela derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}}
O que nos revela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \ \mbox{tg}(x)\sec(x) }
Integral da tangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{tg}(x) } , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx}
Por outro lado, se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\cos(x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du=-\ \mbox{sen}(x)dx }
O que nos possibilita afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= - \int \frac{du}{u}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= - \ln|\cos(x)| }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| }
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln|\sec(x)| + C }
Integral da secante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\sec(x)} , dizemos que sua integral é a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)} e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \sec(x) dx }
multiplicando e dividindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx}
Por outro lado, se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx}
logo, por substituição, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{du}{u} } , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} , o que nos permite fazer:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln |u|}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)| + C }
Cotangente e cossecante
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:
Figura 8
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
O que nos revela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
Que define a cossecante como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Identidades (3)
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1}
Derivada da cotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cotg}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)}
Derivada da cossecante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cosec}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}
Integral da cotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cotg}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Sua integral é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx }
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\ \mbox{sen}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du= \cos(x) dx}
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
E, por substituição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C }
Integral da cossecante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cosec}(x)} ,
Sua integral é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx }
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du= [-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx}
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx }
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
E, por substituição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C }
Inversas das trigonométricas
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle arcfunc(x)} é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.
arcseno e arccosseno
Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:
- O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (- \infty , \infty)} , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] } , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left [0,\pi\right ] } também apresenta valores únicos para cada arco tomado.
Assim, dizemos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] }
Da mesma forma que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land y \in\ \left [0,\pi\right ] }
Derivadas do arcseno e arccosseno
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsen}(x) } , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\ \mbox{sen}(y)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=\cos(y)dy}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=\cos(y)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(y)=\sqrt{1-x^2}}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Ainda temos que a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\ \mbox{arccos}(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\cos(z)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=-\ \mbox{sen}(z)dz}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Integrais do arcseno e arccosseno
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arctangente e arccotangente
Definimos a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=arctg(x)} ,
arctangente de x, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=tg(y)} ,
tangente de y, para todo o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty, \infty)} , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.
Do mesmo modo podemos definir a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=arccotg(t)} ,
arccotangente de t, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=cotg(z)} ,
cotangente de z, para todo o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty, \infty)} , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Derivadas da arctangente e arccotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=arctg(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=tg(y)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=sec^2 (y)dy}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=sec^2 (y)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sec^2(y)=1+tg^2(y)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sec^2(y)=1+x^2}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=1+x^2} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}}
Ainda temos que a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=arccotg(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=cotg(z)} .
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}}
Integrais da arctangente e arccotangente
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arcsecante e arccossecante
Definimos a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsec}(x)} ,
arcsecante de x, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\sec(y) } ,
secante de y, para os intervalos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)} , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)} é relacionada a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arccos}(x)} como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)}
Do mesmo modo podemos definir a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\ \mbox{arccosec}(t)} ,
arccosecante de t, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{cosec}(z)} ,
cosecante de y, para os intervalos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)} , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arccosec}(x)} é relacionada a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsen}(x)} como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)}
Derivadas da arcsecante e arccossecante
Seja a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsec}(x)}
que tem correspondência em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)}
Sendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Integrais da arcsecante e arccossecante
Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Trigonométricas inversas como integrais algébricas
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \ \mbox{arcsen}(x)+C} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \ \mbox{arctg}(x)+C} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \ \mbox{arcsec}(|x|)+C}
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.
hiperbólicas
A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-x}} , as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.
As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.
Seno e cosseno hiperbólicos
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{1}{2x}} , onde encontramos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} }
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} }
Sendo obtida de forma similar a anterior.
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x} e uma exponencial decrescente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-x}} lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.
Relacionando seno e cosseno hiperbólico
Considere a operação: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) } ,
Da definição temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 -\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2e^x e^{-x}}{4} -\frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2e^x e^{-x}}{4}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{4}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4}{4}}
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) = 1}
Derivada do seno hiperbólico
Seja a função seno hiperbólico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{senh}(x)} , podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} }
sendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-(-e^{-x}))}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cosh(x)}
Derivada do cosseno hiperbólico
Seja a função cosseno hiperbólico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\cosh(x)} , podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} }
sendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+(-e^{-x}))}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\ \mbox{senh}(x)}
Integral do seno hiperbólico
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{1}{2} e^x dx- \int \frac{1}{2} e^{-x} dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^x + e^{-x}}{2} }
Concluimos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \ \mbox{senh}(x) = \cosh(x) + C }
Integral do cosseno hiperbólico
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{1}{2} e^x dx + \int \frac{1}{2} e^{-x} dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^x - e^{-x}}{2} }
Concluimos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \cosh(x) = \ \mbox{senh}(x) + C }
Tangente e secante hiperbólicas
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}}
A secante hiperbólica é definida como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}}
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}}
Relacionando tangente e secante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\ \mbox{tgh}^2(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\cosh^2(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)}
Derivada da tangente hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{tgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)}
Derivada da secante hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{sech}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} + e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x} }}
e finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)}
Integral da tangente hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{tgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx}
Se fizermos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\cosh(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du=\ \mbox{senh}(x)dx}
verificamos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln |u|}
e finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln |\cosh(x)| + C }
Integral da secante hiperbólica
Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Cotangente e cossecante hiperbólicas
A cotangente hiperbólica é definida como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}}
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}}
A cosecante hiperbólica é definida como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}}
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}}
Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\ \mbox{cotgh}^2(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} - 4}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)}
Derivada da cotangente hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{cotgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)}
Derivada da cossecante hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{cosech}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} - e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x} }}
e finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)}
Integral da cotangente hiperbólica
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx}
Se fizermos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\ \mbox{senh}(x)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du=\cosh(x)dx}
verificamos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln |u|}
e finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C }
Integral da cossecante hiperbólica
Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Inversas das hiperbólicas
As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.
Análise da inversão das variáveis
As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=funch(x)} ,
Para a forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=argfunch(y)}
Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle senh(x)} , que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.
É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.
argsenh e argcosenh
Agora consideremos a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{senh}(x)} , então:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}}
Podemos fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x}=u} , logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{u - u^{-1}}{2}}
O que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^2-2tu-1=0}
cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=t \pm \sqrt{t^2 +1}}
Podemos apenas admitir: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>0} , consequentemente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = t+ \sqrt{t^2 + 1}}
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle senh(x)} que é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|}
No caso de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\cosh(x) } , a dedução é similar:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}}
Podemos fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x}=u} , logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{u + u^{-1}}{2}}
O que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^2-2tu+1=0}
cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=t \pm \sqrt{t^2 -1}}
Podemos apenas admitir: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u>0} , consequentemente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = t+ \sqrt{t^2 - 1}}
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cosh(x)} que é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|}
de onde deduzimos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)}
resultando:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}
E para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|}
de onde deduzimos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}} \right)}
e finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argtgh e argsech
Considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{tgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}
se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=e^x} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{u - u^{-1}}{u + u^{-1}}}
o que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (t-1)u^2 + t + 1 = 0}
cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}}
Onde apenas podemos admitir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u > 0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t < 1 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}}
Substituindo x por y e t por x:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}
Que é a inversa da Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tgh}(x)} , portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|<1 }
Ou,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|<1 }
Considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{sech}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}}
se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=e^x} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{2}{u + u^{-1}}}
o que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle tu^2 - 2u + t = 0}
Cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}}
Onde apenas podemos admitir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u > 0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < t < 1 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}}
Substituindo x por y e t por x:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|}
Que é a inversa da Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sech(x)} , portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < x < 1 }
Derivadas de argtgh e argsech
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ \mbox{argtgh}(x)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|<1}
Deduzimos que sua derivada é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right] }
e, finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|<1}
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ \mbox{argsech}(x)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|} ,
Deduzimos que sua derivada é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)}
e, finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}}
Integrais de argtgh e argsech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argcotgh e argcosech
Considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{cotgh}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}}
se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=e^x} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}}
o que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-t)u^2 - t - 1 = 0}
cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}}
Onde apenas podemos admitir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u > 0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t < 1 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}}
Substituindo x por y e t por x:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}
Que é a inversa da Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cotgh}(x)} , portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Ou,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{cosech}(x)} , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}}
se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=e^x} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{2}{u - u^{-1}}}
o que resulta na equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle tu^2 - 2u - t = 0}
Cujas raízes são:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}}
Onde apenas podemos admitir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u > 0 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}}
Substituindo x por y e t por x:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|}
Que é a inversa da Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cosech(x)} , portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|}
Derivadas de argcotgh e argcosech
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ \mbox{argcotgh}(x)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Deduzimos que sua derivada é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right] }
e, finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \ \mbox{argcosech}(x)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|} ,
Deduzimos que sua derivada é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}}
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)}
e, finalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{1+x^2}}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \ne 0 }
Integrais de argcotgh e argcosech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.