Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)
Trigonométricas II
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.
Tangente e secante
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois excencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por e o valor inicial é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:
que é:
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosideranto este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h, a hipotenusa, façamos :
Da identidade relacional temos:
portanto:
Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.
Identidades (2)
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.
I-14 Relacionando tangente e secante
Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre podemos afirmar que:
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.
I-15 Tangente da diferença
Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
Resultando em:
O que comprova a identidade.
I-16 Tangente da soma
Comprovação:
Admitamos e teremos pela tangente da diferença:
Considerando que a tangente é:
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
O que comprova a identidade.
Derivada da tangente
Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
logo, pela derivada da razão:
Portanto:
Derivada da secante
Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
logo, pela derivada da razão:
O que nos revela:
Integral da tangente
Seja a função , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
Por outro lado, se:
O que nos possibilita afirmar que:
Portanto:
Integral da secante
Seja a função , dizemos que sua integral é a função e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:
multiplicando e dividindo :
Por outro lado, se:
,
logo, por substituição, temos:
, sendo , o que nos permite fazer:
Portanto:
Cotangente e cossecante
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
O que nos revela:
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
Que define a cossecante como:
Identidades (3)
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:
Derivada da cotangente
Seja a função , considerando que:
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Portanto:
Derivada da cossecante
Seja a função , considerando que:
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Portanto:
Integral da cotangente
Seja a função , considerando que:
Sua integral é:
Sendo
Logo:
E, por substituição:
Integral da cossecante
Seja a função ,
Sua integral é:
Sendo
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
Logo:
E, por substituição:
Inversas das trigonométricas
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.
Arcseno e arccosseno
Conforme o anteriormente exponsto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:
- O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: também apresenta valores únicos para cada arco tomado.
Assim, dizemos que:
Da mesma forma que:
Derivadas do arcseno e arccosseno
Seja a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Integrais do arcseno e arccosseno
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arctangente e arccotangente
Definimos a função:
,
arctangente de x, como a inversa da função:
,
tangente de y, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.
Do mesmo modo podemos definir a função:
,
arccotangente de t, como a inversa da função:
,
cotangente de z, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Derivadas da arctangente e arccotangente
Seja a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:
.
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Integrais da arctangente e arccotangente
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arcsecante e arccossecante
Definimos a função:
,
arctsecante de x, como a inversa da função:
,
secante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função é relacionada a função como segue:
Do mesmo modo podemos definir a função:
,
arccosecante de t, como a inversa da função:
,
cosecante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função é relacionada a função como segue:
Derivadas da arcsecante e arccossecante
Seja a função:
que tem correspondência em:
Sendo:
Portanto:
para