Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: mudanças entre as edições
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<!-- Volume 1 da série Cálculo --> | |||
<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | <div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | ||
==Limites== | ==Limites== | ||
===Breve explanação=== | ===Breve explanação=== | ||
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<math> y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)} </math> | <math> y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)} </math> | ||
Esta função não está definida para <math> x\ =\ 6</math>, pois não faz sentido escrever <math> y\ =\ \frac{0}{0}</math>. No entanto, podemos calcular <math>f(x)</math> para valores de <math>x</math> muito próximos de 6. Observe a tabela: | Esta função não está definida para <math> x\ =\ 6 </math>, pois não faz sentido escrever <math> y\ =\ \frac{0}{0} </math>. No entanto, podemos calcular <math>f(x) </math> para valores de <math>x </math> muito próximos de 6. Observe a tabela: | ||
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{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
! <math>x</math> | ! <math>x </math> | ||
| 5,5 || 5,8 || 5,99 || 6 || 6,05 || 6,2 || 6,5 | | 5,5 || 5,8 || 5,99 || 6 || 6,05 || 6,2 || 6,5 | ||
|- | |- | ||
! <math>y=f(x)</math> | ! <math>y=f(x) </math> | ||
| 0,75 || 0,9 || 0,995 || <math>\ | | 0,75 || 0,9 || 0,995 || <math>\not\exists </math> || 1,025 || 1,1 || 1,25 | ||
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
Se fizermos <math>x\ =\ 5,5 </math> | Se fizermos <math>x\ =\ 5,5 </math> | ||
temos <math> y\ =\ 0,75</math>; se agora fizermos <math>x\ =\ 5,8 </math> teremos <math>y\ =\ 0,9 </math>; depois fazendo <math>x\ =\ 5,99 </math> teremos <math>y\ =\ 0,995 </math>; | temos <math> y\ =\ 0,75</math>; se agora fizermos <math>x\ =\ 5,8 </math> teremos <math>y\ =\ 0,9 </math>; depois fazendo <math>x\ =\ 5,99 </math> teremos <math>y\ =\ 0,995 </math>; | ||
portanto quando nós aproximamos <math>x</math> de 6, vemos que também aproximamos <math>y</math> de 1. | portanto quando nós aproximamos <math>x </math> de 6, vemos que também aproximamos <math>y </math> de 1. | ||
Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos <math>x\ =\ 6,5 </math> teremos <math>y\ =\ 1,25 </math>; e para <math>x\ =\ 6,2 </math> | Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos <math>x\ =\ 6,5 </math> teremos <math>y\ =\ 1,25 </math>; e para <math>x\ =\ 6,2 </math> | ||
teremos <math>y\ =\ 1,1 </math>; finalmente, se <math>x\ =\ 6,05 </math> teremos <math>y\ =\ 1,025 </math> e vemos que o mesmo acontece. | teremos <math>y\ =\ 1,1 </math>; finalmente, se <math>x\ =\ 6,05 </math> teremos <math>y\ =\ 1,025 </math> e vemos que o mesmo acontece<ref>{{WolframAlpha|Texto|lim(x->6) (x-4)*(x-6)/(2*(x-6))|<math>\frac{(x-4)(x-6)}{2(x-6)} </math>}}</ref>. | ||
O que isto quer dizer? | O que isto quer dizer? | ||
Acontece que, quando ''aproximamos'' <math>x</math> de 6, <math>y</math> ''se aproxima'' de 1, o que indica uma ''tendência'' de se igualar a 1. Perceba que quando <math>x</math> ''se aproxima'' de 6, de forma a alcançar o '''limite''' entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que <math>y</math> também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se <math>f(x)=y</math> então, o '''limite''' de <math>f(x) </math> quando | Acontece que, quando ''aproximamos'' <math>x </math> de 6, <math>y </math> ''se aproxima'' de 1, o que indica uma ''tendência'' de se igualar a 1. Perceba que quando <math>x </math> ''se aproxima'' de 6, de forma a alcançar o '''limite''' entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que <math>y </math> também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se <math>f(x)=y </math> então, o '''limite''' de <math>f(x) </math> quando <math>x </math> tende a 6 é igual a 1. | ||
Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação: | Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação: | ||
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<math>\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1</math> | <math>\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1 </math> | ||
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Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos? | Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos? | ||
Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a [[w:Distância|distância]] entre dois números reais é dada pela fórmula [[w:Métrica (matemática)#Exemplos|<math>d(a,b)=|a-b|</math>]]. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo: | Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a [[w:Distância|distância]] entre dois números reais é dada pela fórmula [[w:Métrica (matemática)#Exemplos|<math>d(a,b)=|a-b| </math>]]. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo: | ||
* Se <math>\delta</math> é um número pequeno e <math>|x-a|<\delta</math> então <math>x</math> está ''próximo de <math>a</math> ''; | * Se <math>\delta </math> é um número pequeno e <math>|x-a|<\delta </math> então <math>x </math> está ''próximo de <math>a </math> ''; | ||
* Se diminuimos gradativamente o valor de <math>\epsilon</math>, e ao mesmo tempo escolhemos <math>y</math> satisfazendo <math>|y-L|<\epsilon</math>, podemos dizer que estamos ''aproximando <math>y</math> de L''; | * Se diminuimos gradativamente o valor de <math>\epsilon </math>, e ao mesmo tempo escolhemos <math>y </math> satisfazendo <math>|y-L|<\epsilon </math>, podemos dizer que estamos ''aproximando <math>y </math> de L''; | ||
Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de <math>x</math> e a variação dos valores assumidos pela função <math>f(x)</math> pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer <math>f(x)</math> ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de <math>x</math> suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer <math>d(f(x),1)</math> ficar menor que <math>\epsilon</math>, é suficiente encontrar um valor de <math>\delta</math> pequeno o bastante e fazer escolhas de <math>x</math> que satisfaçam <math>d(x,6)=|x-6|<\delta</math>, ou seja, basta escolher <math>x</math> próximo de 6. | Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de <math>x </math> e a variação dos valores assumidos pela função <math>f(x) </math> pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer <math>f(x) </math> ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de <math>x </math> suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer <math>d(f(x),1) </math> ficar menor que <math>\epsilon </math>, é suficiente encontrar um valor de <math>\delta </math> pequeno o bastante e fazer escolhas de <math>x </math> que satisfaçam <math>d(x,6)=|x-6|<\delta </math>, ou seja, basta escolher <math>x </math> próximo de 6. | ||
=== | ===Analisando as condições=== | ||
{{Aprimoramento|Remover esta seção "Analisando as condições"|Limites}} | |||
Seja a função <math>f(x) </math>, onde <math>x\ \in\ \R </math>. Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar. | |||
Sendo <math>f( | Sendo <math>f(x) </math>, definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor <math> L </math>, próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número <math>\epsilon </math>, delimitando uma região em <math>f(x) </math> de forma que as condições sejam suficientes para garantir que: | ||
<math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon | <math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon </math> | ||
Ao tomarmos um subintervalo em <math>f(x) </math> com extensão <math>\epsilon </math>, o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor <math>\delta </math> correspondente para <math>x </math>. Consideramos que temos um número <math>a </math>, neste intervalo, para todo <math>\delta </math> que obtemos quando arbitramos um <math>\epsilon </math> na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em <math>f(x) </math> devemos ter um número <math>x </math> no domínio, tal que: | |||
Caso | <math>0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta </math> | ||
Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria. | |||
Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que <math>L </math> é o '''limite''' de <math>f(x) </math> quando <math>\left(x\right) </math> tende a <math>\left(a\right) </math>. | |||
===Definição=== | ===Definição=== | ||
Linha 71: | Linha 71: | ||
Adotamos a notação | Adotamos a notação | ||
<center> | <center> | ||
<math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L | <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L </math> | ||
</center> | </center> | ||
para dizer que a função possui a seguinte propriedade: | para dizer que a função possui a seguinte propriedade: | ||
Linha 80: | Linha 80: | ||
De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas: | De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas: | ||
* <math>L | * <math>L </math> é o limite de <math>f(x) </math>, quando <math>x </math> tende para <math>a </math>, ou que | ||
* <math>f(x) | * <math>f(x) </math> tende <math>L </math> quando <math>x </math> tende para <math>a </math> | ||
ou com símbolos: | ou com símbolos: | ||
* <math>f(x) \to L</math> quando <math>x \to a</math> | * <math>f(x) \to L </math> quando <math>x \to a </math> | ||
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L | * <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L </math> | ||
'''Observação''' | '''Observação''' | ||
Para aqueles que também se interessam por [[lógica]] e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do [[Lógica | Para aqueles que também se interessam por [[lógica]] e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do [[Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico|cálculo quantificacional clássico]]. Assim, dado <math>a\ \in\ \R </math>, diremos que <math>\exists \lim_{x \to a}f(x) </math>, quando: | ||
<math>\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left |f(x)-L\right|<\epsilon )))</math> | <math>\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left |f(x)-L\right|<\epsilon ))) </math> | ||
==== Interpretação intuitiva da definição ==== | |||
Uma forma de compreender, de forma intuitiva, esta definição, é ver o limite como um jogo. Neste jogo, exite um proponente e um desafiante. O proponente declara que | |||
<center> | |||
<math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L </math> | |||
</center> | |||
Então cabe, ao desafiante, propor um número <math>\epsilon >0\,</math>. Sempre que o desafiante propuser algum <math>\epsilon\,</math>, o proponente deve exibir um <math>\delta >0\,</math> e provar que, sempre que <math>x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta\,</math>, necessariamente temos que <math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon </math> | |||
Como exemplo, digamos que a função seja ''f(x) = x + 1'', e o proponente declara que | |||
<center> | |||
<math>\lim_{x \to 0}f(x)\ =\ 2 </math> | |||
</center> | |||
(uma proposição claramente absurda). Então, caso o desafiante proponha <math>\epsilon = 10\,</math>, basta ao proponente escolher <math>\delta = \frac{1}{2}\,</math>, porque para valores de ''x'' entre -1/2 e 1/2, temos que ''f(x)'' está entre 1/2 e 3/2, ou seja, a distância de f(x) para 2 é menor que 10. Só que isto não é o bastante, o proponente deve responder ao desafio para ''todo'' <math>\epsilon\,</math>, então caso o desafiante proponha <math>\epsilon = \frac{1}{10}\,</math>, o proponente não será capaz de encontrar um <math>\delta\,</math> com a propriedade desejada. | |||
===Propriedades=== | ===Propriedades=== | ||
Linha 108: | Linha 121: | ||
|título=Unicidade | |título=Unicidade | ||
|texto= | |texto= | ||
Seja uma função real <math>f(x) | Seja uma função real <math>f(x) </math> se o limite da mesma em um ponto existe, então ele é '''único'''. Em outras palavras: | ||
|fórmula= | |fórmula= | ||
Se <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> e <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_2</math> então <math>L_1\ =\ L_2</math> | Se <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1 </math> e <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_2 </math> então <math>L_1\ =\ L_2 </math> | ||
}} | }} | ||
'''Demonstração:''' | '''Demonstração:''' | ||
Proponhamos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> e <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_2</math>, mas <math> L_1\ \ne \ L_2</math>. | Proponhamos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1 </math> e <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_2 </math>, mas <math> L_1\ \ne \ L_2 </math>. | ||
Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada <math>\epsilon >0</math>, existe <math>{\delta}_1</math> tal que: | Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada <math>\epsilon >0 </math>, existe <math>{\delta}_1 </math> tal que: | ||
<math>|f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon</math> para todo <math>x</math> que satisfaz <math>0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_1</math> | <math>|f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon </math> para todo <math>x </math> que satisfaz <math>0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_1 </math> | ||
Além disso, existe <math>{\delta}_2</math> para o qual vale | Além disso, existe <math>{\delta}_2 </math> para o qual vale | ||
<math>|f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon</math> sempre que <math>x</math> verifica a desigualdade <math>0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_2</math> | <math>|f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon </math> sempre que <math>x </math> verifica a desigualdade <math>0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_2 </math> | ||
Como <math>L_1</math> e <math>L_2</math> não são iguais, a diferença <math> L_1\ - \ L_2</math> é não nula. | Como <math>L_1 </math> e <math>L_2 </math> não são iguais, a diferença <math> L_1\ - \ L_2 </math> é não nula. | ||
Da desigualdade triangular: | Da desigualdade triangular: | ||
<math>|L_1\ -\ L_2|\ =\ |(\ L_1-f(x))\ +\ (f(x)-L_2)|\le \ |f(x)\ -\ L_1|\ +\ |f(x)\ -\ L_2|</math> | <math>|L_1\ -\ L_2|\ =\ |(\ L_1-f(x))\ +\ (f(x)-L_2)|\le \ |f(x)\ -\ L_1|\ +\ |f(x)\ -\ L_2| </math> | ||
Se tivermos um <math>\delta <min({\delta_1},{\delta_2})</math> e <math>0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>, serão válidas as condições: | Se tivermos um <math>\delta <min({\delta_1},{\delta_2}) </math> e <math>0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>, serão válidas as condições: | ||
<math> |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon </math> | <math> |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon </math> | ||
Linha 139: | Linha 152: | ||
Teremos em consequência que: | Teremos em consequência que: | ||
<math> |L_1\ -\ L_2|\ <\ 2\epsilon</math> para todo <math>x</math> para o qual <math>0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>. | <math> |L_1\ -\ L_2|\ <\ 2\epsilon </math> para todo <math>x </math> para o qual <math>0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>. | ||
Como podemos arbitrar <math> \epsilon </math>, teremos, ao fazer <math> \epsilon \ =\ \frac{|L_1\ -\ L_2|}{2} </math>, que: | Como podemos arbitrar <math> \epsilon </math>, teremos, ao fazer <math> \epsilon \ =\ \frac{|L_1\ -\ L_2|}{2} </math>, que: | ||
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|título=Limites da soma e da diferença | |título=Limites da soma e da diferença | ||
|texto= | |texto= | ||
Sejam duas funções <math>f(x) | Sejam duas funções <math>f(x) </math> e <math>g(x) </math>, cujo limite em um ponto <math>a</math> exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto <math>a</math> existe e é: | ||
|fórmula= | |fórmula= | ||
<math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \pm\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \pm \lim_{x\to a}g(x)</math> | <math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \pm\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \pm \lim_{x\to a}g(x) </math> | ||
}} | }} | ||
Linha 160: | Linha 173: | ||
Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida. | Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida. | ||
Tomando <math>\lim_{x\to a}f(x)=A</math> e <math>\lim_{x\to a}g(x)=B</math>, devemos, pela definição, provar que: | Tomando <math>\lim_{x\to a}f(x)=A </math> e <math>\lim_{x\to a}g(x)=B </math>, devemos, pela definição, provar que: | ||
Dado qualquer <math>\epsilon</math> positivo, existe algum <math>\delta</math> positivo, para o qual <math>|(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon</math> sempre que <math>x \in D_f</math> satisfaz <math>0\ <\ |x-a|\ < \ \delta</math> | Dado qualquer <math>\epsilon </math> positivo, existe algum <math>\delta </math> positivo, para o qual <math>|(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon </math> sempre que <math>x \in D_f </math> satisfaz <math>0\ <\ |x-a|\ < \ \delta </math> | ||
Posto que existem os limites de <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math> em <math>a</math>, já sabemos que para quaisquer <math>k</math> e <math>p</math> positivos, existem <math>\delta_1</math> e <math>\delta_2</math> positivos satisfazendo: | Posto que existem os limites de <math>f(x) </math> e <math>g(x) </math> em <math>a </math>, já sabemos que para quaisquer <math>k </math> e <math>p </math> positivos, existem <math>\delta_1 </math> e <math>\delta_2 </math> positivos satisfazendo: | ||
* <math>|f(x)-A|\ <\ k</math>, <math>\forall x \in D_f</math> tal que <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_1</math> | * <math>|f(x)-A|\ <\ k </math>, <math>\forall x \in D_f </math> tal que <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_1 </math> | ||
* <math>|g(x)-B|\ <\ p</math>, <math>\forall x \in D_f</math> tal que <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_2</math> | * <math>|g(x)-B|\ <\ p </math>, <math>\forall x \in D_f </math> tal que <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_2</math> | ||
e pela desigualdade triangular: | e pela desigualdade triangular: | ||
Linha 174: | Linha 187: | ||
<math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ </math> | <math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ </math> | ||
Então, ao arbitrar <math>\epsilon \ =\ p+k \ >\ 0</math>, existe <math>\delta\ =\ min \{\delta_1, \delta_2\}</math>, de modo que se <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta</math> vale: | Então, ao arbitrar <math>\epsilon \ =\ p+k \ >\ 0 </math>, existe <math>\delta\ =\ min \{\delta_1, \delta_2\} </math>, de modo que se <math>0\ <\ |x-a|\ <\ \delta </math> vale: | ||
<math>|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon</math>, ou seja, | <math>|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon </math>, ou seja, | ||
<math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon</math> | <math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon </math> | ||
=====Observação===== | =====Observação===== | ||
Linha 190: | Linha 203: | ||
|título= Limite do produto de duas funções | |título= Limite do produto de duas funções | ||
|texto= | |texto= | ||
Se existem os limites das funções <math>f(x) | Se existem os limites das funções <math>f(x) </math> e <math>g(x) </math> em um ponto <math>a </math>, então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por: | ||
|fórmula= | |fórmula= | ||
<math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \cdot\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \cdot \lim_{x\to a}g(x)</math> | <math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \cdot\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \cdot \lim_{x\to a}g(x) </math> | ||
}} | }} | ||
'''Demonstração:''' | '''Demonstração:''' | ||
Consideremos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> e que <math>\lim_{x\to a}g(x)=M</math>. | Consideremos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L </math> e que <math>\lim_{x\to a}g(x)=M </math>. | ||
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon</math> positivo, existe algum <math>\delta</math> positivo, tal que | Queremos verificar se para cada <math>\epsilon </math> positivo, existe algum <math>\delta </math> positivo, tal que | ||
<math>\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon</math>, para todo <math>x \in D_f</math> que verifica <math>0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math> | <math>\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon </math>, para todo <math>x \in D_f \cap D_g </math> que verifica <math>0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math> | ||
Considerando que existem os limites <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> e <math>\lim_{x\to a}g(x)</math>, é possível encontrar certo <math>\delta_1 \ >\ 0</math>, para o qual | Considerando que existem os limites <math>\lim_{x\to a}f(x) </math> e <math>\lim_{x\to a}g(x) </math>, é possível encontrar certo <math>\delta_1 \ >\ 0 </math>, para o qual | ||
* <math>|f(x)-L|\ <\ 1</math>'''<sup><font color=red>(1)</font></sup>''' sempre que <math>x \in D_f</math> e <math>0<|x-a|\ <\ \delta_1</math>. | * <math>|f(x)-L|\ <\ 1 </math>'''<sup><font color=red>(1)</font></sup>''' sempre que <math>x \in D_f </math> e <math>0<|x-a|\ <\ \delta_1 </math>. | ||
do que podemos concluir que, para estes valores de <math>x</math>, vale <math>|f(x)|\ <\ |L|+1 </math>. | do que podemos concluir que, para estes valores de <math>x </math>, vale <math>|f(x)|\ <\ |L|+1 </math>. | ||
Mas para qualquer <math>\epsilon \ =\ p+k</math>, com <math>p>0</math> e <math>k>0 </math>, também existem valores positivos <math>\delta_2</math> e <math>\delta_3</math>, de modo que | Mas para qualquer <math>\epsilon \ =\ p+k </math>, com <math>p>0 </math> e <math>k>0 </math>, também existem valores positivos <math>\delta_2 </math> e <math>\delta_3 </math>, de modo que | ||
* <math>|g(x)-M|\ <\ \frac{p}{|L| | * <math>|g(x)-M|\ <\ \frac{p}{|L|+1} </math>'''<sup><font color=red>(2)</font></sup>''', quando <math>x \in D_f </math> e <math>0<|x-a|<\ \delta_2 </math> e | ||
* <math>|f(x)-L|\ <\ \frac{k}{|M|+1}</math>'''<sup><font color=red>(3)</font></sup>''', se <math>x \in D_f</math> e <math>0<|x-a|<\ \delta_3</math>. | * <math>|f(x)-L|\ <\ \frac{k}{|M|+1} </math>'''<sup><font color=red>(3)</font></sup>''', se <math>x \in D_f </math> e <math>0<|x-a|<\ \delta_3 </math>. | ||
Então, se <math>\delta \ <\ \{\delta_1, \delta_2, \delta_3\}</math>, e <math>0<|x-a|<\ \delta</math>, valem as desigualdades '''<font color=red>(1)</font>''', '''<font color=red>(2)</font>''' e '''<font color=red>(3)</font>'''. | Então, se <math>\delta \ <\ \{\delta_1, \delta_2, \delta_3\} </math>, e <math>0<|x-a|<\ \delta </math>, valem as desigualdades '''<font color=red>(1)</font>''', '''<font color=red>(2)</font>''' e '''<font color=red>(3)</font>'''. | ||
Vamos então trabalhar com a expressão <math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|</math> para concluir que ela é fica menor que <math>\epsilon</math> para estes valores de <math>x</math> . | Vamos então trabalhar com a expressão <math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M| </math> para concluir que ela é fica menor que <math>\epsilon </math> para estes valores de <math>x </math> . | ||
Primeiramente, observe que | Primeiramente, observe que | ||
<math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ = |f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)|</math> | <math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ = |f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)| </math> | ||
Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que <math>|M|<|M|+1</math>, obtemos | Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que <math>|M|<|M|+1 </math>, obtemos | ||
<math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ \le |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|</math> | <math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ \le |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L| </math> | ||
Aplicando as desigualdades '''(1)''', '''(2)''' e '''(3)''', resulta <math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot \frac{p}{|L| | Aplicando as desigualdades '''(1)''', '''(2)''' e '''(3)''', resulta <math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot \frac{p}{|L|+1}\ +\ (|M|+1)\cdot \frac{k}{|M|+1} </math> | ||
Como <math>\frac{f(x)}{|L| | Como <math>\frac{f(x)}{|L|+1}<1 </math>, concluimos que | ||
<math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k </math> | <math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k </math> | ||
Linha 235: | Linha 248: | ||
|título=Limite da razão de duas funções | |título=Limite da razão de duas funções | ||
|texto= | |texto= | ||
Se existem os limites das funções <math>f(x) </math> e <math>g(x) </math> em um ponto <math>a </math>, e se o limite da função <math>g(x)</math> no ponto <math>a </math> é diferente de zero, então o limite da razão das funções neste ponto existe e é: | |||
|fórmula= | |fórmula= | ||
<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}</math> | <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} </math> | ||
}} | }} | ||
'''Demonstração:''' | '''Demonstração:''' | ||
Seja <math>\lim_{x\to a}g(x)=M \ne 0 </math>. Basta mostrar que <math>\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} \ = \ \frac{1}{M}</math>, e aplicar a regra do produto para <math>f(x) \times \frac{1}{g(x)}</math>. | |||
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon </math> positivo, existe algum <math>\delta </math> positivo, tal que | |||
<math>\left| \frac{1}{g(x)}\ -\ \frac{1}{M} \right|\ <\ \epsilon </math>, para todo <math>x \in D_g </math> que verifica <math>0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math> | |||
Mas esta expressão pode ser reescrita como: | |||
<math>\left| \frac{M - g(x)}{M g(x)} \right|\ < \epsilon </math>. | |||
A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno. | |||
Como ''g(x)'' se aproxima de ''M'', vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que <math>\frac{M^2}{2}</math>, e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que <math>\frac{\epsilon}{2M^2}</math>. Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que <math>\epsilon</math>. | |||
* Denominador | |||
Pelo fato de <math>\lim_{x \to a} g(x) = M \ne 0</math>, temos que para o número positivo <math>\frac{\left|M\right|}{2}</math> existe um <math>\delta_1 > 0 </math> tal que <math>\forall x, (\left|x - a\right| < \delta_1 \implies \left|g(x) - M\right| < \frac{\left|M\right|}{2}</math>. | |||
Mas isto implica, em particular, que <math>\left|g(x)\right| = \left|M - (g(x) - M)\right| \ge \left|M\right| - \left|g(x) - M\right| > \left|M\right| - \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{\left|M\right|}{2}</math>. | |||
Portanto, temos que <math>\left|M g(x)\right| = \left|M \right| \ \left|g(x)\right| > \left|M\right| \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{M^2}{2}</math>. | |||
* Numerador | |||
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como <math>\lim_{x \to a}(M - g(x)) = 0</math>, temos que existe <math>\delta_2 > 0</math> tal que <math>\forall x, (x < \delta_2 \implies \left|M - g(x)\right| < \frac{\epsilon}{2 M^2}</math>. | |||
* Fração | |||
Agora basta tomar <math>\delta = min(\delta_1, \delta_2)</math>, e observar o resultado desejado. | |||
====T5 - (Potência)==== | ====T5 - (Potência)==== | ||
Linha 247: | Linha 286: | ||
|título=Limite da função com expoente. | |título=Limite da função com expoente. | ||
|texto= | |texto= | ||
Seja a função <math>f(x) | Seja a função <math>f(x) </math>, o limite da função em um ponto <math>a </math>, quando a mesma é elevada a um expoente inteiro <math>n > 0</math>, é: | ||
|fórmula= | |fórmula= | ||
<math>\lim_{x\to a}(f(x))^n\ =\ \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n</math> | <math>\lim_{x\to a}(f(x))^n\ =\ \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n </math> | ||
}} | }} | ||
'''Demonstração:''' | '''Demonstração:''' | ||
De fato, temos: | De fato, para cada número natural <math>n,</math> temos: | ||
<math>\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n =\ \lim_{x \to a} \left( f(x)\cdot f(x)\cdot f(x)\ | <math>\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n =\ \lim_{x \to a} \left( \underbrace{ f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x) }_{n \text{ vezes}} \right) </math> | ||
O que, pelo teorema do produto, | O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites: | ||
<math> \ | <math> \underbrace{ \lim_{x \to a} f(x)\cdot \lim_{x \to a} f(x)\cdot \dots \cdot \lim_{x \to a} f(x)}_{n \text{ vezes}} </math> | ||
E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar. | E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar. | ||
Linha 268: | Linha 307: | ||
|título=Limite da radiciação de uma função. | |título=Limite da radiciação de uma função. | ||
|texto= | |texto= | ||
Sejam a função <math>f(x) | Sejam a função <math>f(x) </math>, o limite da função em um ponto <math>a </math>, quando a mesma está sob um radical de potência inversa <math>n </math>, é: | ||
|fórmula= | |fórmula= | ||
<math>\lim_{x\to a}\sqrt[n]{(f(x))}\ =\ \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}</math> | <math>\lim_{x\to a}\sqrt[n]{(f(x))}\ =\ \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)} </math> | ||
}} | }} | ||
'''Demonstração:''' | '''Demonstração:''' | ||
'''Conseqüentes para funções algébricas:''' | '''Conseqüentes para funções algébricas:''' | ||
Linha 281: | Linha 318: | ||
Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição. | Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição. | ||
<math>\lim_{x\to a} c\ =\ c</math> | <math>\lim_{x\to a} c\ =\ c </math> | ||
<math>\lim_{x\to a} x\ =\ a</math> | <math>\lim_{x\to a} x\ =\ a </math> | ||
Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima: | Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima: | ||
<math>\lim_{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b</math> sendo <math> m \ne \ 0;</math> | <math>\lim_{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b </math> sendo <math> m \ne \ 0; </math> | ||
<math>\lim_{x\to a}(mx^n\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^n\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b)</math> sendo <math> m \ne \ 0;</math> | <math>\lim_{x\to a}(mx^n\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^n\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b) </math> sendo <math> m \ne \ 0; </math> | ||
===Limites laterais=== | ===Limites laterais=== | ||
Consideremos a função: <math>f(x) = \sqrt{x-2}</math>. Podemos notar que nenhum valor de <math>x</math> menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo <math>(-\infty, 2)</math>. Esta indefinição também se | Consideremos a função: <math>f(x) = \sqrt{x-2} </math>. Podemos notar que nenhum valor de <math>x </math> menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo <math>(-\infty, 2) </math>. Esta indefinição também se | ||
refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais). | refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais). | ||
O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? | O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? | ||
Como o seu domínio é apenas <math>[2, \infty)</math>, devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de <math>f(x) | Como o seu domínio é apenas <math>[2, \infty) </math>, devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de <math>f(x)</math> nas proximidades do ponto <math>a</math>, se quisermos adotar apenas números maiores que <math>a</math> na análise, podemos simbolizar isto desta forma: <math> \lim_{x \to a^+}f(x) </math>, da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que <math>a </math>, | ||
representando a restrição da seguinte forma: <math> \lim_{x \to a^-}f(x)</math>. | representando a restrição da seguinte forma: <math> \lim_{x \to a^-}f(x) </math>. | ||
No primeiro caso dizemos que o '''limite lateral pela direita''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>x | No primeiro caso dizemos que o '''limite lateral pela direita''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>x</math> | ||
se aproxima de <math>a | se aproxima de <math>a</math> pela direita. No segundo caso dizemos que '''o limite lateral pela esquerda''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>x</math> se aproxima de <math>a</math> pela esquerda. | ||
====Limite lateral pela direita==== | ====Limite lateral pela direita==== | ||
Dizemos que <math> \lim_{x \to a^+}f(x) = L</math>, quando: | Dizemos que <math> \lim_{x \to a^+}f(x) = L </math>, quando: | ||
<math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta </math> | <math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta </math> | ||
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====Limite lateral pela esquerda==== | ====Limite lateral pela esquerda==== | ||
Dizemos que <math> \lim_{x \to a^-}f(x) = L</math>, quando: | Dizemos que <math> \lim_{x \to a^-}f(x) = L </math>, quando: | ||
<math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad - \delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0 </math> | <math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad - \delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0 </math> | ||
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[[#Breve explanação|No início]] deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas: | [[#Breve explanação|No início]] deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas: | ||
* O que acontece com os valores de <math>f(x) | * O que acontece com os valores de <math>f(x)</math>, quando <math>x</math> é muito grande? | ||
* O que fazer quando, ao aproximar <math>x | * O que fazer quando, ao aproximar <math>x</math> de um ponto <math>a</math>, os valores de <math>f(x)</math> ficam cada vez maiores? | ||
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de ''limite''. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o ''infinito'' como se fosse um ''número'', embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável <math>x</math> esteja ''tendendo ao infinito'', e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso <math>x</math> fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável ''tende a infinito''. | Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de ''limite''. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o ''infinito'' como se fosse um ''número'', embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável <math>x </math> esteja ''tendendo ao infinito'', e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso <math>x </math> fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável ''tende a infinito''. | ||
Considerando uma função definida como: | Considerando uma função definida como: | ||
<math>f(x)=\frac{1}{|x|} | <math>f(x)=\frac{1}{|x|} </math> | ||
Pensemos na melhor maneira de variar ''x'' para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que <math>|x| | Pensemos na melhor maneira de variar ''x'' para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que <math>|x| </math> forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais <math>|x|</math> diminui, mais os valores da função <math>f(x)</math> aumentam. | ||
Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como ''quociente de funções complicadas'' ou ''composição de várias funções'', e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante. | Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como ''quociente de funções complicadas'' ou ''composição de várias funções'', e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante. | ||
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{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
! <math>x</math> | ! <math>x </math> | ||
| -2500 || -200 || -10 || -0,5 || -0,002 || -0,000016 || 0 || 0,00008 || 0,0025 || 2,5 || 250|| 4000 | | -2500 || -200 || -10 || -0,5 || -0,002 || -0,000016 || 0 || 0,00008 || 0,0025 || 2,5 || 250|| 4000 | ||
|- | |- | ||
! <math>y=f(x)</math> | ! <math>y=f(x) </math> | ||
| 0,0004 || 0,005 || 0,1 || 2 || 500 || 62500 || <math>\mathcal{6}\exists </math> || 12500 || 400 || 0,4 || 0,04 || 0,00025 | | 0,0004 || 0,005 || 0,1 || 2 || 500 || 62500 || <math>\mathcal{6}\exists </math> || 12500 || 400 || 0,4 || 0,04 || 0,00025 | ||
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
Vemos que ao aproximar <math>x | Vemos que ao aproximar <math>x </math> de zero, os valores de <math>y=f(x) </math> ''tendem a ficar muito grandes''. No entanto, se tivéssemos utilizado a função <math>g(x)=\frac{1}{x} </math> em vez de <math>f(x)=\frac{1}{|x|} </math>, teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de <math>x </math>: Ao fazer <math>x </math> se aproximar de zero, <math>g(x) </math> ''decresceria'' indefinidamente (tenderia a <math>-\infty </math>). | ||
Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "<math>f(x) | Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "<math>f(x)</math> tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = \infty </math>, que será definida precisamente mais adiante. | ||
Isto é um exemplo do que chamamos de ''infinito matemático''. | Isto é um exemplo do que chamamos de ''infinito matemático''. | ||
====Tendências infinitas==== | ====Tendências infinitas==== | ||
Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de <math>f(x) | Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de <math>f(x) </math> se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para <math>x </math>. Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever: | ||
<math>\lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{|x|}\ =\ 0 </math> | <math>\lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{|x|}\ =\ 0 </math> | ||
Isso se justifica, pois os valores de <math>f(x) | Isso se justifica, pois os valores de <math>f(x) </math> ficam muito pequenos (próximos de zero), quando <math>|x| </math> é muito grande. | ||
Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função <math>f(x)\ =\ \frac{x^2-2}{x^2-1} </math>. Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de <math>x</math> maiores que 1 (verifique!). | Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função <math>f(x)\ =\ \frac{x^2-2}{x^2-1} </math>. Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de <math>x </math> maiores que 1 (verifique!). | ||
Fazendo sucessivas aproximações vemos que: | Fazendo sucessivas aproximações vemos que: | ||
<math>x=1,5 \Rightarrow\quad f(x)=(0,2)</math> | <math>x=1,5 \Rightarrow\quad f(x)=(0,2) </math> | ||
<math>x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523)</math> | <math>x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523) </math> | ||
<math>x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111)</math> | <math>x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111) </math> | ||
<math>x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333)</math> | <math>x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333) </math> | ||
<math>x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898)</math> | <math>x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898) </math> | ||
<math>x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899)</math> | <math>x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899) </math> | ||
De fato temos uma ''tendência'' do valor da função se igualar a 1 quando levamos <math>x</math> para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de '''limite no infinito''', ou '''tendência infinita''', e dizemos que <math>f(x)</math> tende a 1 quando <math>x</math> tende ao infinito. | De fato temos uma ''tendência'' do valor da função se igualar a 1 quando levamos <math>x </math> para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de '''limite no infinito''', ou '''tendência infinita''', e dizemos que <math>f(x) </math> tende a 1 quando <math>x </math> tende ao infinito. | ||
Podemos simbolizar a tendência de <math>f(x)</math>, quando <math>x</math> fica cada vez maior, usando uma destas formas: | Podemos simbolizar a tendência de <math>f(x) </math>, quando <math>x </math> fica cada vez maior, usando uma destas formas: | ||
<math>\lim_{x \to + \infty}f(x)</math> | <math>\lim_{x \to + \infty}f(x) </math> | ||
ou | ou | ||
<math>\lim_{x \to \infty^+}f(x)</math> | <math>\lim_{x \to \infty^+}f(x) </math> | ||
O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (<math>- \infty</math>), então podemos representá-la assim: | O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (<math>- \infty </math>), então podemos representá-la assim: | ||
<math>\lim_{x \to - \infty}f(x)</math> | <math>\lim_{x \to - \infty}f(x) </math> | ||
ou | ou | ||
<math>\lim_{x \to \infty^-}f(x)</math> | <math>\lim_{x \to \infty^-}f(x) </math> | ||
A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as ''têndências infinitas'' e os ''limites infinitos''. | A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as ''têndências infinitas'' e os ''limites infinitos''. | ||
'''Definição''' | '''Definição''' | ||
Chamamos o número <math>L</math> de '''limite lateral no infinito positivo''' se: | Chamamos o número <math>L </math> de '''limite lateral no infinito positivo''' se: | ||
<math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N>0 \quad</math> tal que vale a implicação <math> x>N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math> | <math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N>0 \quad </math> tal que vale a implicação <math> x>N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math> | ||
Ou seja, <math>L</math> é o número para qual uma função | Ou seja, <math>L </math> é o número para qual uma função <math>f(x) </math> tende a se igualar quando a variável independente <math>x </math> ultrapassa o número positivo N. | ||
Do mesmo modo, chamamos o número <math>L</math> de '''limite lateral no infinito negativo''' se: | Do mesmo modo, chamamos o número <math>L </math> de '''limite lateral no infinito negativo''' se: | ||
<math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N<0 \quad</math> tal que vale a implicação <math>x<N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math> | <math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N<0 \quad </math> tal que vale a implicação <math>x<N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math> | ||
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve | Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado. | ||
====Limites infinitos==== | ====Limites infinitos==== | ||
Linha 419: | Linha 455: | ||
==Continuidade== | ==Continuidade== | ||
O básico conceito de continuidade | O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação. | ||
Ao definir o conceito de '''continuidade''', o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de ''quebras'' ou ''saltos'' em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela ''"cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel"''. Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma ''interpretação'' do conceito, e que este é muito mais amplo. | Ao definir o conceito de '''continuidade''', o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de ''quebras'' ou ''saltos'' em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela ''"cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel"''. Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma ''interpretação'' do conceito, e que este é muito mais amplo. | ||
{| WIDTH="100%" | |||
|- | |||
| style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top | | |||
'''Definição: (função contínua em um ponto)''' | |||
''' | Se <math>f(x) </math> é definida num intervalo aberto contendo <math>c </math>, então <math>f(x) </math> é dita ser '''contínua em <math>c \;</math>''' se, e somente se <math>\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) </math>. | ||
|} | |||
Para exprimir | Para exprimir em símbolos que uma função <math>f(x) </math> é '''contínua''' no ponto <math>a </math>, escreve-se: | ||
<math>\exists\ | <math> \forall \; \epsilon > 0, \; \exists \; \delta > 0 \; \quad|\quad \forall \; x \in D_f, |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \epsilon </math> | ||
<math>\exists f(a) </math> | Isto significa que: | ||
* <math>\exists \; \lim_{x \rightarrow c} f(x) </math> | |||
* <math>\exists f(a) </math> | |||
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math> | |||
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos. | |||
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|texto= | |||
;Exemplos: | |||
# Considere a função <math>f </math> definida por <math> f(x) = \begin{cases} | |||
\frac{x^2-1}{x-1}, & \mbox{se } x \ne 1 \\ | |||
2 , & \mbox{se } x = 1 | |||
\end{cases} </math> | |||
{{ | Tem-se: | ||
* <math> \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} </math>. Como <math> \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} </math>, se conclui que o limite existe, e é igual a 2. | |||
* <math> f(1)=2 </math>. | |||
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math> | |||
}} | }} | ||
== Notas == | |||
<references/> | |||
{{AutoCat}} | {{AutoCat}} | ||
[[en:Calculus/Limits]] |
Edição atual tal como às 18h02min de 4 de abril de 2017
Limites
Breve explanação
Vejamos o gráfico a seguir:
Figura 1
O gráfico representa a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: \! \mathbb{R}\ \! \smallsetminus \! \{ 6 \} \to \mathbb{R}\ } definida pela regra:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)} }
Esta função não está definida para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 6 } , pois não faz sentido escrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ \frac{0}{0} } . No entanto, podemos calcular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } para valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } muito próximos de 6. Observe a tabela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } | 5,5 | 5,8 | 5,99 | 6 | 6,05 | 6,2 | 6,5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x) } | 0,75 | 0,9 | 0,995 | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \not\exists } | 1,025 | 1,1 | 1,25 |
Se fizermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 5,5 } temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 0,75} ; se agora fizermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 5,8 } teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 0,9 } ; depois fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 5,99 } teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 0,995 } ; portanto quando nós aproximamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } de 6, vemos que também aproximamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 6,5 } teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 1,25 } ; e para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 6,2 } teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 1,1 } ; finalmente, se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ =\ 6,05 } teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\ =\ 1,025 } e vemos que o mesmo acontece[1].
O que isto quer dizer?
Acontece que, quando aproximamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } de 6, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1. Perceba que quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=y } então, o limite de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } tende a 6 é igual a 1.
Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1 }
Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro.
Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?
Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a distância entre dois números reais é dada pela fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(a,b)=|a-b| } . Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:
- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } é um número pequeno e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a|<\delta } então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } está próximo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } ;
- Se diminuimos gradativamente o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , e ao mesmo tempo escolhemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } satisfazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |y-L|<\epsilon } , podemos dizer que estamos aproximando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } de L;
Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e a variação dos valores assumidos pela função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(f(x),1) } ficar menor que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , é suficiente encontrar um valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } pequeno o bastante e fazer escolhas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } que satisfaçam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x,6)=|x-6|<\delta } , ou seja, basta escolher Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } próximo de 6.
Analisando as condições
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ \in\ \R } . Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } , próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , delimitando uma região em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } de forma que as condições sejam suficientes para garantir que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon }
Ao tomarmos um subintervalo em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } com extensão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } correspondente para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } . Consideramos que temos um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , neste intervalo, para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } que obtemos quando arbitramos um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } devemos ter um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } no domínio, tal que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta }
Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.
Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } é o limite de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x\right) } tende a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(a\right) } .
Definição
Adotamos a notação
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\ =\ L }
para dizer que a função possui a seguinte propriedade:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0 \quad | \quad \forall x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon }
De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } é o limite de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } tende para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , ou que
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } tende Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } tende para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a }
ou com símbolos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \to L } quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \to a }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\ =\ L }
Observação
Para aqueles que também se interessam por lógica e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do cálculo quantificacional clássico. Assim, dado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\ \in\ \R } , diremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists \lim_{x \to a}f(x) } , quando:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left |f(x)-L\right|<\epsilon ))) }
Interpretação intuitiva da definição
Uma forma de compreender, de forma intuitiva, esta definição, é ver o limite como um jogo. Neste jogo, exite um proponente e um desafiante. O proponente declara que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\ =\ L }
Então cabe, ao desafiante, propor um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon >0\,} . Sempre que o desafiante propuser algum Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon\,} , o proponente deve exibir um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta >0\,} e provar que, sempre que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta\,} , necessariamente temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon }
Como exemplo, digamos que a função seja f(x) = x + 1, e o proponente declara que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)\ =\ 2 }
(uma proposição claramente absurda). Então, caso o desafiante proponha Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = 10\,} , basta ao proponente escolher Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta = \frac{1}{2}\,} , porque para valores de x entre -1/2 e 1/2, temos que f(x) está entre 1/2 e 3/2, ou seja, a distância de f(x) para 2 é menor que 10. Só que isto não é o bastante, o proponente deve responder ao desafio para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon\,} , então caso o desafiante proponha Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \frac{1}{10}\,} , o proponente não será capaz de encontrar um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta\,} com a propriedade desejada.
Propriedades
Uma vez motivada a definição do conceito de limite, e apresentada sua caracterização formalmente, é muito útil garantir que os limites satisfazem certas propriedades operatórias, no sentido de que pode-se fazer operações com as expressões que representam limites. As principais propriedades válidas para limites são apresentadas nos teoremas T1 até T6.
Resumidamente, T1 garante que o limite de uma função em um ponto (ou no infinito) é único. Isso significa que quando duas pessoas se propõe a calcular um limite (que exista), elas chegarão obrigatoriamente a um mesmo resultado. Isso justifica por exemplo o uso da expressão o limite de f(x) no ponto a em vez de um limite de f(x) no ponto a.
O teorema T2 estabelece a somatividade dos limites: para somar dois limites que existem, podemos somar as duas funções e calcular apenas o limite desta soma. Uma propriedade análoga vale para a diferença entre limites.
Os teoremas seguintes (de T3 até T6) exploram o mesmo tipo de propriedade para as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de limites. Observe que tradicionalmente estas operações são definidas para números reais. No entanto, talvez por causa de sua simplicidade, podem ser facilmente estendidas para operações entre funções.
Considere, por exemplo, o caso da potenciação. O teorema T5, mostra que para se calcular o limite da (função) n-ésima potência de f(x) que tem limite no ponto a, é suficiente calcular a n-ésima potência do (número dado pelo) limite de f(x) no ponto a.
T1 - (Unicidade)
Demonstração:
Proponhamos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L_2 } , mas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1\ \ne \ L_2 } .
Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon >0 } , existe Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\delta}_1 } tal que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon } para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } que satisfaz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_1 }
Além disso, existe Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\delta}_2 } para o qual vale
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon } sempre que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } verifica a desigualdade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_2 }
Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2 } não são iguais, a diferença Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1\ - \ L_2 } é não nula.
Da desigualdade triangular:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |L_1\ -\ L_2|\ =\ |(\ L_1-f(x))\ +\ (f(x)-L_2)|\le \ |f(x)\ -\ L_1|\ +\ |f(x)\ -\ L_2| }
Se tivermos um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta <min({\delta_1},{\delta_2}) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x\ -\ a|<\ \delta } , serão válidas as condições:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon }
Teremos em consequência que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |L_1\ -\ L_2|\ <\ 2\epsilon } para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } para o qual Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x\ -\ a|<\ \delta } .
Como podemos arbitrar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , teremos, ao fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \ =\ \frac{|L_1\ -\ L_2|}{2} } , que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |L_1\ -\ L_2|\ <\ |L_1\ -\ L_2| }
Mas isto é contraditório, portanto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1\ =\ L_2 } .
T2 - (Soma e diferença)
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Sejam duas funções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) } , cujo limite em um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} existe e é: | ||
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\ \pm\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \pm \lim_{x\to a}g(x) } |
Demonstração:
Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.
Tomando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=B } , devemos, pela definição, provar que:
Dado qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } positivo, existe algum Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } positivo, para o qual Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon } sempre que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f } satisfaz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ <\ |x-a|\ < \ \delta }
Posto que existem os limites de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) } em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , já sabemos que para quaisquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p } positivos, existem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_1 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_2 } positivos satisfazendo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-A|\ <\ k } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x \in D_f } tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_1 }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |g(x)-B|\ <\ p } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x \in D_f } tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_2}
e pela desigualdade triangular:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ }
Então, ao arbitrar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \ =\ p+k \ >\ 0 } , existe Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta\ =\ min \{\delta_1, \delta_2\} } , de modo que se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ <\ |x-a|\ <\ \delta } vale:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon } , ou seja,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon }
Observação
Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a desigualdade triangular. Em tal caso, deveriamos observar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-g(x)\ -\ (A-B)|\ = \ |f(x)-A\ +\ (-g(x)+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ }
T3 - (Produto)
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Se existem os limites das funções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) } em um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por: | ||
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\ \cdot\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \cdot \lim_{x\to a}g(x) } |
Demonstração:
Consideremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L } e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=M } .
Queremos verificar se para cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } positivo, existe algum Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } positivo, tal que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon } , para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f \cap D_g } que verifica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0< \left| x\ -\ a \right|< \delta }
Considerando que existem os limites Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}g(x) } , é possível encontrar certo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_1 \ >\ 0 } , para o qual
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L|\ <\ 1 } (1) sempre que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x-a|\ <\ \delta_1 } .
do que podemos concluir que, para estes valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } , vale Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)|\ <\ |L|+1 } .
Mas para qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \ =\ p+k } , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p>0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>0 } , também existem valores positivos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_2 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_3 } , de modo que
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |g(x)-M|\ <\ \frac{p}{|L|+1} } (2), quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x-a|<\ \delta_2 } e
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L|\ <\ \frac{k}{|M|+1} } (3), se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_f } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x-a|<\ \delta_3 } .
Então, se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta \ <\ \{\delta_1, \delta_2, \delta_3\} } , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<|x-a|<\ \delta } , valem as desigualdades (1), (2) e (3).
Vamos então trabalhar com a expressão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M| } para concluir que ela é fica menor que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } para estes valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } . Primeiramente, observe que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ = |f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)| }
Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |M|<|M|+1 } , obtemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ \le |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L| }
Aplicando as desigualdades (1), (2) e (3), resulta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot \frac{p}{|L|+1}\ +\ (|M|+1)\cdot \frac{k}{|M|+1} }
Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{f(x)}{|L|+1}<1 } , concluimos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k }
Portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon } , o que confirma a validade do teorema.
T4 - (Razão)
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Se existem os limites das funções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) } em um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , e se o limite da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)} no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } é diferente de zero, então o limite da razão das funções neste ponto existe e é: | ||
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} } |
Demonstração:
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=M \ne 0 } . Basta mostrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} \ = \ \frac{1}{M}} , e aplicar a regra do produto para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \times \frac{1}{g(x)}} .
Queremos verificar se para cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } positivo, existe algum Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } positivo, tal que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| \frac{1}{g(x)}\ -\ \frac{1}{M} \right|\ <\ \epsilon } , para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in D_g } que verifica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0< \left| x\ -\ a \right|< \delta }
Mas esta expressão pode ser reescrita como: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| \frac{M - g(x)}{M g(x)} \right|\ < \epsilon } .
A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.
Como g(x) se aproxima de M, vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{M^2}{2}} , e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\epsilon}{2M^2}} . Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} .
- Denominador
Pelo fato de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = M \ne 0} , temos que para o número positivo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\left|M\right|}{2}} existe um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_1 > 0 } tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x, (\left|x - a\right| < \delta_1 \implies \left|g(x) - M\right| < \frac{\left|M\right|}{2}} .
Mas isto implica, em particular, que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|g(x)\right| = \left|M - (g(x) - M)\right| \ge \left|M\right| - \left|g(x) - M\right| > \left|M\right| - \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{\left|M\right|}{2}} .
Portanto, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|M g(x)\right| = \left|M \right| \ \left|g(x)\right| > \left|M\right| \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{M^2}{2}} .
- Numerador
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a}(M - g(x)) = 0} , temos que existe Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_2 > 0} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x, (x < \delta_2 \implies \left|M - g(x)\right| < \frac{\epsilon}{2 M^2}} .
- Fração
Agora basta tomar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta = min(\delta_1, \delta_2)} , e observar o resultado desejado.
T5 - (Potência)
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Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , o limite da função em um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , quando a mesma é elevada a um expoente inteiro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n > 0} , é: | ||
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x))^n\ =\ \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n } |
Demonstração:
De fato, para cada número natural Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n,} temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n =\ \lim_{x \to a} \left( \underbrace{ f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x) }_{n \text{ vezes}} \right) }
O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underbrace{ \lim_{x \to a} f(x)\cdot \lim_{x \to a} f(x)\cdot \dots \cdot \lim_{x \to a} f(x)}_{n \text{ vezes}} }
E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.
T6 - (Radiciação)
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Sejam a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , o limite da função em um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , quando a mesma está sob um radical de potência inversa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } , é: | ||
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt[n]{(f(x))}\ =\ \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)} } |
Demonstração:
Conseqüentes para funções algébricas:
Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a} c\ =\ c }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a} x\ =\ a }
Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b } sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \ne \ 0; }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a}(mx^n\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^n\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b) } sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \ne \ 0; }
Limites laterais
Consideremos a função: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sqrt{x-2} } . Podemos notar que nenhum valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty, 2) } . Esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).
O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?
Como o seu domínio é apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [2, \infty) } , devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} nas proximidades do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , se quisermos adotar apenas números maiores que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} na análise, podemos simbolizar isto desta forma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x) } , da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , representando a restrição da seguinte forma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x) } .
No primeiro caso dizemos que o limite lateral pela direita da função é o valor para o qual a função tende quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} se aproxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} pela direita. No segundo caso dizemos que o limite lateral pela esquerda da função é o valor para o qual a função tende quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} se aproxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} pela esquerda.
Limite lateral pela direita
Dizemos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x) = L } , quando:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta }
Limite lateral pela esquerda
Dizemos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x) = L } , quando:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad - \delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0 }
Infinitos
Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.
No início deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:
- O que acontece com os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} , quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} é muito grande?
- O que fazer quando, ao aproximar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} de um ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ficam cada vez maiores?
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } esteja tendendo ao infinito, e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável tende a infinito.
Considerando uma função definida como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{|x|} }
Pensemos na melhor maneira de variar x para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| } forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|} diminui, mais os valores da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} aumentam.
Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como quociente de funções complicadas ou composição de várias funções, e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.
Vejamos alguns exemplos numéricos de como a função aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de zero. Acompanhe a tabela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } | -2500 | -200 | -10 | -0,5 | -0,002 | -0,000016 | 0 | 0,00008 | 0,0025 | 2,5 | 250 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x) } | 0,0004 | 0,005 | 0,1 | 2 | 500 | 62500 | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{6}\exists } | 12500 | 400 | 0,4 | 0,04 | 0,00025 |
Vemos que ao aproximar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } de zero, os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x) } tendem a ficar muito grandes. No entanto, se tivéssemos utilizado a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{x} } em vez de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{|x|} } , teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } : Ao fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } se aproximar de zero, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) } decresceria indefinidamente (tenderia a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty } ).
Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = \infty } , que será definida precisamente mais adiante.
Isto é um exemplo do que chamamos de infinito matemático.
Tendências infinitas
Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } . Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{|x|}\ =\ 0 }
Isso se justifica, pois os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } ficam muito pequenos (próximos de zero), quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| } é muito grande.
Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)\ =\ \frac{x^2-2}{x^2-1} } . Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } maiores que 1 (verifique!).
Fazendo sucessivas aproximações vemos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=1,5 \Rightarrow\quad f(x)=(0,2) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899) }
De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e dizemos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } tende a 1 quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } tende ao infinito.
Podemos simbolizar a tendência de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } fica cada vez maior, usando uma destas formas:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to + \infty}f(x) }
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty^+}f(x) }
O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \infty } ), então podemos representá-la assim:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to - \infty}f(x) }
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \infty^-}f(x) }
A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos.
Definição
Chamamos o número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } de limite lateral no infinito positivo se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \epsilon >0,\quad \exists N>0 \quad } tal que vale a implicação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x>N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon }
Ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } é o número para qual uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } tende a se igualar quando a variável independente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } ultrapassa o número positivo N.
Do mesmo modo, chamamos o número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L } de limite lateral no infinito negativo se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \epsilon >0,\quad \exists N<0 \quad } tal que vale a implicação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x<N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon }
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado.
Limites infinitos
Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?
Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle + \infty } ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \infty } , pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\ =\ + \infty } , como já definimos anteriormente.
Continuidade
O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.
Ao definir o conceito de continuidade, o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de quebras ou saltos em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela "cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel". Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma interpretação do conceito, e que este é muito mais amplo.
Definição: (função contínua em um ponto) Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } é definida num intervalo aberto contendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c } , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } é dita ser contínua em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \;} se, e somente se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) } . |
Para exprimir em símbolos que uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } é contínua no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } , escreve-se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \; \epsilon > 0, \; \exists \; \delta > 0 \; \quad|\quad \forall \; x \in D_f, |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \epsilon }
Isto significa que:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists \; \lim_{x \rightarrow c} f(x) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists f(a) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) }
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.
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