Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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Linha 68: | Linha 68: | ||
<math>\int \ln(x) dx=x\ln(x) - x</math> | <math>\int \ln(x) dx=x\ln(x) - x</math> | ||
<math>\int \ln(x) dx=x[\ln(x) - 1]</math> | <math>\int \ln(x) dx=x[\ln(x) - 1] + C</math> | ||
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma: | Também há os que preferem simplificar mais, desta forma: | ||
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<math>\int \ln(x) dx=x \left[\ln \left(\frac{x}{e}\right)\right]</math> | <math>\int \ln(x) dx=x \left[\ln \left(\frac{x}{e}\right)\right]</math> | ||
<math>\int \ln(x) dx=\ln \left(\frac{x}{e}\right)^x</math> | <math>\int \ln(x) dx=\ln \left(\frac{x}{e}\right)^x + C</math> | ||
Sendo ''C'' a constante de antidiferenciação. | |||
==== Exemplo 2 - Caso do arcseno ==== | ==== Exemplo 2 - Caso do arcseno ==== |
Edição das 19h57min de 22 de novembro de 2005
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua excência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diveras, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de um artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação de um processo de integração.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logarítmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.