Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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Linha 165: | Linha 165: | ||
==== Exemplo 4 - Caso do arctangente ==== | ==== Exemplo 4 - Caso do arctangente ==== | ||
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente: | |||
<math>\int arctg(x) dx</math> | |||
Separando as partes e operando as inversas: | |||
<math>\int dx = x</math> | |||
e | |||
<math>\frac{d[arctg(x)]}{dx}=\frac{1}{1+x^2}</math> | |||
Aplicamos a fórmula da integração por partes: | |||
<math>\int arctg(x) dx = x \cdot arctg(x) - \int \frac{x\ dx}{1+x^2}</math> | |||
Por outro lado: | |||
<math>u=1+x^2</math> | |||
<math>du=2x\ dx</math> | |||
onde podemos extrair: | |||
<math>x\ dx=\frac{du}{2}</math> | |||
voltando ao desenvolvimento da integral: | |||
<math>\int arctg(x) dx = x \cdot arctg(x) - \int \frac{du}{2u}</math> | |||
<math>\int arctg(x) dx = x \cdot arctg(x) - \frac{1}{2} \ln |u|</math> | |||
<math>\int arctg(x) dx = x \cdot arctg(x) - \frac{1}{2} \ln (1+x^2)</math> | |||
Portanto: | |||
<math>\int arctg(x) dx = x \cdot arctg(x) - \ln \sqrt{1+x^2} + C</math> | |||
Novamente, temos ''C'' como contante de antidiferenciação. | |||
=== Por substituição trigonomética === | === Por substituição trigonomética === |
Edição das 00h04min de 9 de dezembro de 2005
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua excência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diveras, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de um artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação de um processo de integração.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logarítmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.