Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2: | Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2: | ||
<math>\int sec^3 x dx </math> | <math>\int sec^3 (x) dx </math> | ||
Podemos fazer: | |||
<math>\int sec(x) \cdot sec^2 (x) dx </math> | |||
E aplicar a integração por partes: | |||
<math>\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)-\int tg(x)[sec(x)tg(x)]dx </math> | |||
<math>\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)-\int sec(x)tg^2(x)dx </math> | |||
<math>\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)-\int sec(x)[sec^2(x)-1]dx </math> | |||
<math>\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)-\int sec^3(x)dx+\int sec(x)dx </math> | |||
<math>2\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)+\int sec(x)dx </math> | |||
<math>2\int sec^3 (x) dx=sec(x)tg(x)+\ln|sec(x)+tg(x)| </math> | |||
E finalmente: | |||
<math>\int sec^3 (x) dx=\frac{1}{2} sec(x)tg(x)+\frac{1}{2} \ln|sec(x)+tg(x)| + C </math> | |||
Com ''C'' constante. | |||
=== Por substituição trigonomética === | === Por substituição trigonomética === |
Edição das 14h56min de 20 de dezembro de 2005
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua excência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diveras, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de um artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação de um processo de integração.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logaritmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.
Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais
Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:
Considerando as partes:
e:
Substituindo na fórmula de integrção por partes:
O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:
Portanto:
Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2
Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:
Podemos fazer:
E aplicar a integração por partes:
E finalmente:
Com C constante.