Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua excência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diveras, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de um artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação de um processo de integração.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logaritmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.
Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais
Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:
Considerando as partes:
e:
Substituindo na fórmula de integrção por partes:
O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:
Portanto:
Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2
Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:
Podemos fazer:
E aplicar a integração por partes:
E finalmente:
Com C constante.
Por substituição trigonomética
A existência de relações algébricas que nos levam a arcos nos traz a possibilidade de converter uma expressão algébrica, conseqüentemente uma função algébrica, em uma função trigonométrica. A possibilidade de lidar com certas funções de forma trigonométrica nos traz a possibilidade de utilizar os artifícios das identidades para a simplificação dessas funções.
Transformando expressões algébricas em trigonométricas
Três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para a simplificação de algumas funções, elas são:
Sendo "a" constante.
Note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os lados de um mesmo triângulo: , se escolhermos um par (variável,constante) e substituirmos na equação teremos as expressões acima como resultantes, teremos uma variável dependente para cada par (variável,constante), por exemplo: se fizermos , e teremos a expressão (2) como resultante (y).
Imagine que temos uma nova variável e que:
Sendo:
Podemos dizer que:
Portanto:
quando e
O exposto acima encontra respaudo no fato de que a expressão é simplesmente a tradução da relação métrica de um triângulo retângulo para definição do cosseno a partir do seno, como segue:
Se fizermos a comparação entre as funções e o gráfico acima, substituindo as variáveis e constantes de acordo com a função dada, teremos o seguinte:
- Na função é um seno;
- Na função é uma tangente;
- Na função é uma secante.
A substituição trigonométrica na integração
Agora, considere o fato de que a função tem como integral a função , então podemos fazer:
Uma vez, que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos temos:
então:
Temos que encontrar :
O que nos revela algo interessante:
Ou seja:
Logo:
Exemplo 7 - Substituição por seno
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Fazendo a transformação de variáveis:
A integral será:
Como:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 8 - Substituição por secante
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 9 - Substituição por tangente
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.