Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua excência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diveras, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de um artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação de um processo de integração.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logaritmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.
Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais
Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:
Considerando as partes:
e:
Substituindo na fórmula de integrção por partes:
O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:
Portanto:
Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2
Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:
Podemos fazer:
E aplicar a integração por partes:
E finalmente:
Com C constante.
Por substituição trigonomética
A existência de relações algébricas que nos levam a arcos nos traz a possibilidade de converter uma expressão algébrica, conseqüentemente uma função algébrica, em uma função trigonométrica. A possibilidade de lidar com certas funções de forma trigonométrica nos traz a possibilidade de utilizar os artifícios das identidades para a simplificação dessas funções.
Transformando expressões algébricas em trigonométricas
Três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para a simplificação de algumas funções, elas são:
Sendo "a" constante.
Note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os lados de um mesmo triângulo: , se escolhermos um par (variável,constante) e substituirmos na equação teremos as expressões acima como resultantes, teremos uma variável dependente para cada par (variável,constante), por exemplo: se fizermos , e teremos a expressão (2) como resultante (y).
Imagine que temos uma nova variável e que:
Sendo:
Podemos dizer que:
Portanto:
quando e
O exposto acima encontra respaudo no fato de que a expressão é simplesmente a tradução da relação métrica de um triângulo retângulo para definição do cosseno a partir do seno, como segue:
Se fizermos a comparação entre as funções e o gráfico acima, substituindo as variáveis e constantes de acordo com a função dada, teremos o seguinte:
- Na função é um seno;
- Na função é uma tangente;
- Na função é uma secante.
A substituição trigonométrica na integração
Agora, considere o fato de que a função tem como integral a função , então podemos fazer:
Uma vez, que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos temos:
então:
Temos que encontrar :
O que nos revela algo interessante:
Ou seja:
Logo:
Exemplo 7 - Substituição por seno
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Fazendo a transformação de variáveis:
A integral será:
Como:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 8 - Substituição por secante
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 9 - Substituição por tangente
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Funções racionais com denominadores lineares
Denominadores de segundo grau ou mais são um pouco mais problemáticos quando queremos definir uma integral, por exemplo:
Seja a função:
É possível demonstrar que a função pode ser fatorada da seguinte forma:
Onde A e B são os fatores a serem definidos; o processo para definí-los será explicado mais adiante e são as raizes da equação formada a partir do denominador quando o igualamos a zero.
Porém a demonstração disto está fora do escopo deste livro, deve ser tratado no cálculo avançado.
Em todo caso, o teorema é bastante útil para a simplificação de tais funções.
Seja a função , podemos simplificá-la desta forma:
Da função, retiramos:
Considerando as raizes da equação , podemos fazê-la igual a:
Os fatores são calculados fazendo:
logo, as raizes permitem: , então temos que admitir que ao analisar cada raiz:
Quando :
Quando :
então, podemos fazer:
A linearização de denominadores usada na integração
O artifício de linearizar denominadores, como exposto no tópico anterior, permite uma boa simplificação de integrais com denominadores polinomiais de graus superiores, permitindo sua linearização, porém ainda depende da determinação das raízes do polinômio do denominador, o que limita a nossa capacidade de resolução aos polinômios biquadráticos. Sem levar em conta este fato, podemos simplificar a integral