Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias: mudanças entre as edições
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:Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por formulas moleculares, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo: | :Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por formulas moleculares, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo: | ||
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:Substitui-se o termo | :Substitui-se o termo <math>A\!\,</math> pela fórmula molecular <math>\left(B \land C\right)\leftrightarrow \left(D \lor E\right)</math> | ||
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:Está fórmula também é uma tautologia. | :Está fórmula também é uma tautologia. | ||
:Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar termos (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas). | :Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar termos (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas). |
Edição das 01h30min de 14 de agosto de 2006
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Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias
- Fórmulas contingentes são aquelas cuja valoração pode ser verdadeira ou falsa, dependendo da valoração de seus termos (ou fórmulas atômicas). Todas fórmulas descritas na seção anterior são contingentes:
A | B | ¬A | A∧B | A∨B | A→B | A↔B | A↓B | A∨B |
V | V | F | V | V | V | V | F | F |
V | F | F | F | V | F | F | F | V |
F | V | V | F | V | V | F | F | V |
F | F | V | F | F | V | V | V | F |
- Contradições são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Falso”. Um exemplo de contradição é :
A | ¬A | A∧¬A |
V | F | F |
F | V | F |
- Tautologias são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Verdadeiro”. Bons exemplos de tautologia são , e .
A | ¬A | A→A | ¬(A∧¬A) | A∨¬A |
V | F | V | V | V |
F | V | V | V | V |
- Nota: Toda negação de uma contradição consiste numa tautologia e toda negação de uma tautologia consiste numa contradição.
Lista de Tautologias
- Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por formulas moleculares, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:
- é uma tautologia.
- Substitui-se o termo pela fórmula molecular
- Está fórmula também é uma tautologia.
- Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar termos (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas).
- Lembre-se que as letras do alfabeto grego não fazem parte da linguagem do CPC. Elas consistem em variáveis metalingüísticas. As estruturas lingüísticas formadas por elas não são fórmulas ou teoremas, mas esquema de fórmulas ou esquema de teoremas. Porém, os próprios lógicos, por economia de linguagem, se referem aos esquemas de fórmulas por “fórmulas” e idem para os esquemas de teoremas. Esta economia de linguagem também ocorre ao longo deste wikilivro.
Princípio de identidade | α → α
α ↔ α |
Princípio de não-contradição | ¬(α ∧ ¬α) |
Princípio do terceiro excluído | α ∨ ¬α
α ∨ ¬α |
Dupla negação | α ↔ ¬¬α |
Idempotência da conjunção | (α ∧ α) ↔ α |
Idempotência da disjunção | (α ∨ α) ↔ α |
Comutatividade da conjunção | (α ∧ β) ↔ (β ∧ α) |
Comutatividade da disjunção | (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) |
Comutatividade da equivalência | (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) |
Associatividade da conjunção | ((α ∧ β) ∧ γ) ↔ (α ∧ (β ∧ γ)) |
Associatividade da disjunção | (( α ∨ β) ∨ γ) ↔ (α ∨ (β ∨ γ)) |
Associatividade da equivalência | ((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) |
Leis de DeMorgan | ¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β) |
Contraposição | (α → β) ↔ (¬β → ¬α) |
Distributividade | (α ∧ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∨ ( α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) |
Modus ponens | (α ∧ (α → β)) → β |
Modus tollens | (¬β ∧ (α→β)) → ¬α |
Silogismo disjuntivo | ((α ∨ β) ∧ ¬α) → β |
Silogismo hipotético | ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ) |
Lei de Pierce | ((α → β) → α) → α |
Lei de Dun Scot | ¬α → (α → β) |
Prefixação | α → (β → α) |
Antilogismo | ((α ∧ β) → γ) ↔ ((α ∧ ¬γ) → ¬β) |
Exportação/Importação | ((α ∧ β) → γ) ↔ (α → (β → γ)) |
Princípio da Explosão | (α ∧ ¬α) → β |
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