Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias
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Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias
- Fórmulas contingentes são aquelas cuja valoração pode ser verdadeira ou falsa, dependendo da valoração de seus termos (ou fórmulas atômicas). Todas fórmulas descritas na seção anterior são contingentes:
A | B | ¬A | A∧B | A∨B | A→B | A↔B | A↓B | A∨B |
V | V | F | V | V | V | V | F | F |
V | F | F | F | V | F | F | F | V |
F | V | V | F | V | V | F | F | V |
F | F | V | F | F | V | V | V | F |
- Contradições são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Falso”. Um exemplo de contradição é A∧¬A:
A | ¬A | A∧¬A |
V | F | F |
F | V | F |
- Tautologias são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Verdadeiro”. Bons exemplos de tautologia são A→A , ¬(A∧¬A) e A∨¬A.
A | ¬A | A→A | ¬(A∧¬A) | A∨¬A |
V | F | V | V | V |
F | V | V | V | V |
- Nota: Toda negação de uma contradição consiste numa tautologia e toda negação de uma tautologia consiste numa contradição.
Lista de Tautologias
- Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por formulas moleculares, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:
- A→A é uma tautologia.
- Substitui-se o termo A pela fórmula molecular (B∧C) ↔ (D∨E)
- ((B∧C) ↔ (D∨E)) → ((B∧C) ↔ (D∨E))
- Está fórmula também é uma tautologia.
- Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar termos (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas).
Princípio de identidade | α → α
α ↔ α |
Princípio de não-contradição | ¬(α ∧ ¬α) |
Princípio do terceiro excluído | α ∨ ¬α
α ∨ ¬α |
Dupla negação | α ↔ ¬¬α |
Idempotência da conjunção | (α ∧ α) ↔ α |
Idempotência da disjunção | (α ∨ α) ↔ α |
Comutatividade da conjunção | (α ∧ β) ↔ (β ∧ α) |
Comutatividade da disjunção | (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) |
Comutatividade da equivalência | (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) |
Associatividade da conjunção | ((α ∧ β) ∧ γ) ↔ (α ∧ (β ∧ γ)) |
Associatividade da disjunção | (( α ∨ β) ∨ γ) ↔ (α ∨ (β ∨ γ)) |
Associatividade da equivalência | ((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) |
Leis de Morgan | ¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β) |
Contraposição | (α → β) ↔ (¬β → ¬α) |
Distributividade | (α ∧ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∨ ( α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) |
Modus ponens | (α ∧ (α → β)) → β |
Modus tollens | (¬β ∧ (α→β)) → ¬α |
Silogismo disjuntivo | ((α ∨ β) ∧ ¬α) → β |
Silogismo hipotético | ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ) |
Lei de Pierce | ((α → β) → α) → α |
Lei de Dun Scot | ¬α → (α → β) |
Prefixação | α → (β → α) |
Antilogismo | ((α ∧ β) → γ) ↔ ((α ∧ ¬γ) → ¬β) |
Exportação/Importação | ((α ∧ β) → γ) ↔ (α → (β → γ)) |
Princípio da Explosão | (α ∧ ¬α) → β |
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