Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações: mudanças entre as edições
imported>Dante Cardoso Pinto de Almeida m (Lógica: Funções de verdade e os 16 possíveis conectivos no CPC movido para Lógica: Cálculo Proposicional Clássico: Funções de Verdade e Valorações) |
imported>Dante Cardoso Pinto de Almeida Sem resumo de edição |
||
Linha 1: | Linha 1: | ||
===Funções de Verdade=== | |||
{{reciclagem}} | {{reciclagem}} | ||
:Os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Por exemplo, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> tem algum significado dentro de um sistema, e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, <math>\neg \alpha \,\!</math>, que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘<math>\alpha \,\!</math>’ é falso”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de <math>\alpha \,\!</math>, como é expresso pela tabela: | :Os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Por exemplo, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> tem algum significado dentro de um sistema, e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, <math>\neg \alpha \,\!</math>, que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘<math>\alpha \,\!</math>’ é falso”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de <math>\alpha \,\!</math>, como é expresso pela tabela: | ||
Linha 206: | Linha 206: | ||
:Na coluna 12 temos a conjunção, <math>A \land B \,\!</math>. | :Na coluna 12 temos a conjunção, <math>A \land B \,\!</math>. | ||
:Na coluna 15 temos a adaga de Quine, <math>A \downarrow B \,\!</math>. | :Na coluna 15 temos a adaga de Quine, <math>A \downarrow B \,\!</math>. | ||
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: <math>A \gets B \,\!</math>. | |||
:<math>\left(A\to B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land B\right)\equiv \left(\neg A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\downarrow B\right)</math> | :<math>\left(A\to B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land B\right)\equiv \left(\neg A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\downarrow B\right)</math> | ||
Linha 381: | Linha 380: | ||
===Valorações=== | |||
[[Categoria:Cálculo Proposicional Clássico|Funções de verdade e os 16 possíveis conectivos no CPC]] | [[Categoria:Cálculo Proposicional Clássico|Funções de verdade e os 16 possíveis conectivos no CPC]] |
Edição das 21h46min de 27 de outubro de 2006
Funções de Verdade
- Os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Por exemplo, a fórmula tem algum significado dentro de um sistema, e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, , que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘’ é falso”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de , como é expresso pela tabela:
α | ¬α |
V | F |
F | V |
- Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:
- “” significa “‘’ é falso”.
- “” significa “‘’ é falso”.
- E assim por diante:
α | ¬α | ¬¬α | ¬¬¬α |
V | F | V | F |
F | V | F | V |
- No CPC, a negação é a única operação (ou função de verdade) que não é conectivo. As demais estabelecem uma relação entre duas fórmulas (ou seja, são binárias). Por exemplo, “” significa “tanto quanto são verdadeiras”:
α | β | α∧β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
- “” significa “ tem o mesmo valor de verdade que ”:
α | β | α↔β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
- E assim por diante.
- Quantos conectivos seriam possíveis no CPC? Para responder esta pergunta, basta lembrarmos que uma tabela de verdade de uma fórmula que tem dois termos tem quatro linhas que descrevem todas valorações possíveis entre os termos. Cada célula deve conter um de dois possíveis valores. Aplicando os princípios da análise combinatória, temos funções de verdade entre duas fórmulas. Ou seja, 16:
A | B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
V | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | V | V | V | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | F | F | F |
F | V | V | V | V | F | V | V | F | V | F | V | F | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | V | V | F | V | V | F | F | F | V | F | F | F | V | F |
- Já conhecemos algumas destas funções:
- Na coluna 3 temos a implicação, .
- Na coluna 5 temos a disjunção, .
- Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), .
- Na coluna 11 temos a bi-implicação, .
- Na coluna 12 temos a conjunção, .
- Na coluna 15 temos a adaga de Quine, .
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: .
A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | F | V | V |
- Da mesma forma:
A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Só mais um exemplo:
A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade: