Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações: mudanças entre as edições
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Edição das 02h41min de 29 de outubro de 2006
Até este capítulo estavamos abordando o Cálculo Proposicional Clássico por meio de noções intuitivas da linguagem natural a fim de estabelecer as noções básicas de validade de fórmulas e argumentos. Uma vez feito isto, passaremos a trabalhar com conceitos matemáticos formais a fim de dar uma abordagem mais rigorosa aos nossos estudos.
Funções de Verdade
Como você deve saber, funções são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.
Por exemplo, a fórmula tem algum significado dentro de uma linguagem , e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, , que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘’ é falsa”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de , como é expresso pela tabela:
A | ¬A |
V | F |
F | V |
Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:
“” significa “‘’ é falso”.
“” significa “‘’ é falso”.
E assim por diante:
A | ¬A | ¬¬A | ¬¬¬A |
V | F | V | F |
F | V | F | V |
Como fizemos agora com a negação, podemos interpretar os operadores lógicos segundo a função que eles exercem.
Por exemplo, “” significa “tanto quanto são verdadeiras”:
α | β | α∧β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
“” significa “ tem o mesmo valor de verdade que ”:
α | β | α↔β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
E assim por diante.
É até recomendável que façamos interpretemos os operadores desta forma em vista de não incidir em algumas ambigüidades da linguagem natural, tais como que a dupla negação pode não ser equivalente à afirmação, mas consistir em negação enfática ("Não há ninguém aqui"), e a interpretação ambígua da palavra "ou", que pode fazer o papel tanto de disjunção forte quanto fraca.
Todas funções de verdade e a interdefinibilidade das operações
A | 1 | 2 | 3 | 4 |
V | V | V | F | F |
F | V | F | V | F |
A | B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
V | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | V | V | V | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | F | F | F |
F | V | V | V | V | F | V | V | F | V | F | V | F | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | V | V | F | V | V | F | F | F | V | F | F | F | V | F |
- Já conhecemos algumas destas funções:
- Na coluna 3 temos a implicação, .
- Na coluna 5 temos a disjunção, .
- Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), .
- Na coluna 11 temos a bi-implicação, .
- Na coluna 12 temos a conjunção, .
- Na coluna 15 temos a adaga de Quine, .
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: .
A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | F | V | V |
- Da mesma forma:
A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Só mais um exemplo:
A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade: