Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações: mudanças entre as edições
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Como você deve saber, [[Matemática Funções: Índice|funções]] são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso. | |||
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Edição das 01h29min de 17 de janeiro de 2007
Todas funções de verdade e a interdefinibilidade das operações
Como você deve saber, funções são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.
A | 1 | 2 | 3 | 4 |
V | V | V | F | F |
F | V | F | V | F |
A | B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
V | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | V | V | V | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | F | F | F |
F | V | V | V | V | F | V | V | F | V | F | V | F | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | V | V | F | V | V | F | F | F | V | F | F | F | V | F |
- Já conhecemos algumas destas funções:
- Na coluna 3 temos a implicação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \to B \,\!} .
- Na coluna 5 temos a disjunção, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \lor B \,\!} .
- Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A ^\lor_- B \,\!} .
- Na coluna 11 temos a bi-implicação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \leftrightarrow B \,\!} .
- Na coluna 12 temos a conjunção, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \land B \,\!} .
- Na coluna 15 temos a adaga de Quine, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \downarrow B \,\!} .
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \gets B \,\!} .
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\to B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land B\right)\equiv \left(\neg A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\downarrow B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | F | V | V |
- Da mesma forma:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\land B\right) \equiv \neg \left(B\to \neg A \right)\equiv \neg \left(\neg A\lor \neg B\right)\equiv \left(\neg A\downarrow \neg B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Só mais um exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\lor B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land \neg B \right)\equiv \left(\neg A\to B\right)\equiv \neg \left(A\downarrow B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lnot \mathrm{P}\equiv \mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \land \mathrm{Q}\equiv (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}) \downarrow (\mathrm{Q} \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \lor \mathrm{Q}\equiv (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}\equiv ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \leftrightarrow \mathrm{Q}\equiv ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}) \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow (\mathrm{P} \downarrow (\mathrm{Q} \downarrow \mathrm{Q}))\,\!}
Valorações
Valorações são funções que estabelecem um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica de uma linguagem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}} e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas. Basicamente, em cada linha da tabela de verdade estamos trabalhando com uma valoração.
Para simbolizar as funções de valoração, usaremos a letra Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}} . Trabalheremos com elas por meio de símbolos metalógicos bem parecidos com os operadores lógicos que conhecemos.
Exemplo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}_1\left(A\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}_1\left(B\right)=\mathrm{V}\Longrightarrow \mathfrak{v}_1\left(A\land B\right)= \mathrm{V}}
Isto quer dizer, se em uma valoração 1 a fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\,\!} é verdadeira e a fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\,\!} é verdadeira, então na mesma valoração 1 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\land B\,\!} é verdadeira.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}_2\left(A\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}_2\left(B\right)=\mathrm{F}\Longrightarrow \mathfrak{v}_2\left(A\land B\right)= \mathrm{F}}
Isto quer dizer, se em uma valoração 2 a fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\,\!} é verdadeira e a fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\,\!} é falsa, então na mesma valoração 2 Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\land B\,\!} é falsa.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\neg\alpha\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)= \mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\neg\alpha\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)= \mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad ,\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad \mathrm{ou}\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\lor \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad \mathrm{ou}\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\lor \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad ,\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\to \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad \mathrm{ou}\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\to \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad ,\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\leftrightarrow \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathfrak{v}\left(\beta\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\leftrightarrow \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)\ne \mathfrak{v}\left(\beta\right)}