Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações
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Até este capítulo estavamos abordando o Cálculo Proposicional Clássico por meio de noções intuitivas da linguagem natural a fim de estabelecer as noções básicas de validade de fórmulas e argumentos. Uma vez feito isto, passaremos a trabalhar com conceitos matemáticos formais a fim de dar uma abordagem mais rigorosa aos nossos estudos.
Funções de Verdade
Como você deve saber, funções são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.
Por exemplo, a fórmula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \,\!} tem algum significado dentro de uma linguagem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}} , e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg A \,\!} , que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \,\!} ’ é falsa”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \,\!} , como é expresso pela tabela:
A | ¬A |
V | F |
F | V |
Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:
“Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \neg A \,\!} ” significa “‘Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg A \,\!} ’ é falso”.
“Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \neg \neg A \,\!} ” significa “‘Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \neg A \,\!} ’ é falso”.
E assim por diante:
A | ¬A | ¬¬A | ¬¬¬A |
V | F | V | F |
F | V | F | V |
Como fizemos agora com a negação, podemos interpretar os operadores lógicos segundo a função que eles exercem.
Por exemplo, “Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \land \beta \,\!} ” significa “tanto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} quanto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta \,\!} são verdadeiras”:
α | β | α∧β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
“Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \leftrightarrow \beta \,\!}
” significa “Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!}
tem o mesmo valor de verdade que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta \,\!}
”:
α | β | α↔β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
E assim por diante.
É até recomendável que façamos interpretemos os operadores desta forma em vista de não incidir em algumas ambigüidades da linguagem natural, tais como que a dupla negação pode não ser equivalente à afirmação, mas consistir em negação enfática ("Não há ninguém aqui"), e a interpretação ambígua da palavra "ou", que pode fazer o papel tanto de disjunção forte quanto fraca.
Todas funções de verdade e a interdefinibilidade das operações
A | 1 | 2 | 3 | 4 |
V | V | V | F | F |
F | V | F | V | F |
A | B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
V | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | V | V | V | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | F | F | F |
F | V | V | V | V | F | V | V | F | V | F | V | F | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | V | V | F | V | V | F | F | F | V | F | F | F | V | F |
- Já conhecemos algumas destas funções:
- Na coluna 3 temos a implicação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \to B \,\!} .
- Na coluna 5 temos a disjunção, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \lor B \,\!} .
- Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A ^\lor_- B \,\!} .
- Na coluna 11 temos a bi-implicação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \leftrightarrow B \,\!} .
- Na coluna 12 temos a conjunção, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \land B \,\!} .
- Na coluna 15 temos a adaga de Quine, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \downarrow B \,\!} .
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \gets B \,\!} .
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\to B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land B\right)\equiv \left(\neg A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\downarrow B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | F | V | V |
- Da mesma forma:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\land B\right) \equiv \neg \left(B\to \neg A \right)\equiv \neg \left(\neg A\lor \neg B\right)\equiv \left(\neg A\downarrow \neg B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Só mais um exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(A\lor B\right) \equiv \neg \left(\neg A\land \neg B \right)\equiv \left(\neg A\to B\right)\equiv \neg \left(A\downarrow B\right)}
A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lnot \mathrm{P}\equiv \mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \land \mathrm{Q}\equiv (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}) \downarrow (\mathrm{Q} \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \lor \mathrm{Q}\equiv (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow (\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{Q}\equiv ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow \mathrm{Q})\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{P} \leftrightarrow \mathrm{Q}\equiv ((\mathrm{P} \downarrow \mathrm{P}) \downarrow \mathrm{Q}) \downarrow (\mathrm{P} \downarrow (\mathrm{Q} \downarrow \mathrm{Q}))\,\!}
Valorações
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}_1\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}_1\left(\beta\right)=\mathrm{V}\Longrightarrow \mathfrak{v}_1\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}_2\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}_2\left(\beta\right)=\mathrm{F}\Longrightarrow \mathfrak{v}_2\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\neg\alpha\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)= \mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\neg\alpha\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)= \mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\land \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad ou\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\lor \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad ou\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\lor \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad e\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\to \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}\quad ou\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{V}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\to \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\quad e\quad \mathfrak{v}\left(\beta\right)=\mathrm{F}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\leftrightarrow \beta\right)= \mathrm{V}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathfrak{v}\left(\beta\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{v}\left(\alpha\leftrightarrow \beta\right)= \mathrm{F}\iff \mathfrak{v}\left(\alpha\right)\ne \mathfrak{v}\left(\beta\right)}