Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações
Até este capítulo estavamos abordando o Cálculo Proposicional Clássico por meio de noções intuitivas da linguagem natural a fim de estabelecer as noções básicas de validade de fórmulas e argumentos. Uma vez feito isto, passaremos a trabalhar com conceitos matemáticos formais a fim de dar uma abordagem mais rigorosa aos nossos estudos.
Funções de Verdade
Como você deve saber, funções são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.
Por exemplo, a fórmula tem algum significado dentro de uma linguagem , e segundo o princípio de bivalência ela deve ser ou verdadeira ou falsa. Ao negarmos esta fórmula, temos uma nova fórmula, , que tem um novo significado, que pode ser expresso assim: “‘’ é falsa”. Isto é uma nova proposição cujo valor de verdade depende do valor de , como é expresso pela tabela:
A | ¬A |
V | F |
F | V |
Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:
“” significa “‘’ é falso”.
“” significa “‘’ é falso”.
E assim por diante:
A | ¬A | ¬¬A | ¬¬¬A |
V | F | V | F |
F | V | F | V |
Como fizemos agora com a negação, podemos interpretar os operadores lógicos segundo a função que eles exercem.
Por exemplo, “” significa “tanto quanto são verdadeiras”:
α | β | α∧β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
“” significa “ tem o mesmo valor de verdade que ”:
α | β | α↔β |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
E assim por diante.
É até recomendável que façamos interpretemos os operadores desta forma em vista de não incidir em algumas ambigüidades da linguagem natural, tais como que a dupla negação pode não ser equivalente à afirmação, mas consistir em negação enfática ("Não há ninguém aqui"), e a interpretação ambígua da palavra "ou", que pode fazer o papel tanto de disjunção forte quanto fraca.
Todas funções de verdade e a interdefinibilidade das operações
A | 1 | 2 | 3 | 4 |
V | V | V | F | F |
F | V | F | V | F |
A | B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
V | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | V | V | V | F | F | F | F |
V | F | V | V | F | V | V | F | V | V | V | F | F | F | V | F | F | F |
F | V | V | V | V | F | V | V | F | V | F | V | F | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | V | V | F | V | V | F | F | F | V | F | F | F | V | F |
- Já conhecemos algumas destas funções:
- Na coluna 3 temos a implicação, .
- Na coluna 5 temos a disjunção, .
- Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), .
- Na coluna 11 temos a bi-implicação, .
- Na coluna 12 temos a conjunção, .
- Na coluna 15 temos a adaga de Quine, .
Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: .
A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | F | V | V |
- Da mesma forma:
A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | F | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | F | F |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Só mais um exemplo:
A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
V | V | F | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | F | V | V |
F | V | V | F | V | F | V | V |
F | F | V | V | F | V | F | F |
- Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade:
Valorações
Valorações são funções que estabelecem um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica de uma linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas. Basicamente, em cada linha da tabela de verdade estamos trabalhando com uma valoração.
Para simbolizar as funções de valoração, usaremos a letra . Trabalheremos com elas por meio de símbolos metalógicos bem parecidos com os operadores lógicos que conhecemos.
Exemplo:
Isto quer dizer, se em uma valoração 1 a fórmula é verdadeira e a fórmula é verdadeira, então na mesma valoração 1 é verdadeira.
Isto quer dizer, se em uma valoração 2 a fórmula é verdadeira e a fórmula é falsa, então na mesma valoração 2 é falsa.