Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos: mudanças entre as edições
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===Tablôs semânticos=== | |||
:Tablôs semânticos - também conhecidos como '''tableaux''' ou '''árvores''' - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição. | |||
:Provar por contradição consiste em provar a verdade de <math>\psi\!\,</math> supondo que <math>\psi\!\,</math> é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se supor que <math>\psi\!\,</math> é falso é contraditório, então <math>\psi\!\,</math> é verdadeiro. Em outras palavras, se ao assumirmos a hipótese <math>\psi\!\,</math>, dela derivamos <math>\varphi\!\,</math> e <math>\neg\varphi</math>, então devemos inferir <math>\neg\psi\!\,</math>. | |||
Tablôs semânticos - também conhecidos como '''tableaux''' ou '''árvores''' - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição. | :Este tipo de prova é bastante recorrente na filosofia e na matemática, assim como na lógica. | ||
:As vantagens do tablô sobre as tabelas de verdade são: | |||
Provar por contradição consiste em provar a verdade de <math>\psi\!\,</math> supondo que <math>\psi\!\,</math> é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se <math>\psi\!\,</math> é falso é contraditório, então <math>\psi\!\,</math> é verdadeiro. | |||
Em outras palavras, se <math> | |||
As vantagens do tablô sobre as tabelas de verdade são: | |||
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#Os tablôs são mais práticos, fáceis e rápidos de serem feitos. | #Os tablôs são mais práticos, fáceis e rápidos de serem feitos. | ||
===Tablôs de Fórmulas=== | ====Tablôs de Fórmulas==== | ||
====Exemplo 1==== | =====Exemplo 1===== | ||
:Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> é uma tautologia. | :Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> é uma tautologia. | ||
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:<math>\mathbf{F}\quad\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\quad </math> | :<math>\mathbf{F}\quad\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\quad \mathbf{ok}</math> | ||
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:É feita uma marca ( | :É feita uma marca(aqui um "ok") nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente. | ||
:Mais uma vez, se <math>\beta\to \alpha</math> é falso, então o antecedente <math>\beta \,\!</math> é verdadeiro enquanto o conseqüente <math>\alpha \,\!</math> é falso: | :Mais uma vez, se <math>\beta\to \alpha</math> é falso, então o antecedente <math>\beta \,\!</math> é verdadeiro enquanto o conseqüente <math>\alpha \,\!</math> é falso: | ||
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:Oras, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> está com dois valores. Isto é contradição. Supor que <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia. | :Oras, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> está com dois valores. Isto é contradição. Supor que <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia. | ||
====Exemplo 2==== | =====Exemplo 2===== | ||
:Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o ''modus tollens'', <math>\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha</math> , é tautológica. | :Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o ''modus tollens'', <math>\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha</math> , é tautológica. | ||
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:Façamos mais um tablô para ver como lidar com todos os quatro conectivos mais usuais. Uma das leis de Morgan, <math>\neg \left(\alpha\or \beta\right)\leftrightarrow\left(\neg \alpha\land\neg \beta\right)</math> , parece bastante adequada para este fim. | :Façamos mais um tablô para ver como lidar com todos os quatro conectivos mais usuais. Uma das leis de Morgan, <math>\neg \left(\alpha\or \beta\right)\leftrightarrow\left(\neg \alpha\land\neg \beta\right)</math> , parece bastante adequada para este fim. | ||
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:Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, <math>\neg\left(\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\right)</math>: | :Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, <math>\neg\left(\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\right)</math>: | ||
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:Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia. | :Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia. | ||
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:Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como <math>\left(\varphi\lor \psi\right)\to \psi</math> : | :Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como <math>\left(\varphi\lor \psi\right)\to \psi</math> : | ||
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:*todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido. | :*todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido. | ||
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===Tablôs de Argumentos=== | |||
:Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica. | :Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica. | ||
: De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido. | : De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido. | ||
: Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor. | : Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor. | ||
====Exemplo 1==== | =====Exemplo 1===== | ||
: Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens, | : Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens, | ||
:<math>\left \{A\to B\ , \neg B\right \}\vDash \neg A </math> | :<math>\left \{A\to B\ , \neg B\right \}\vDash \neg A </math> | ||
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:<math>\mathbf{V}\quad A\to B</math> | :<math>\mathbf{V}\quad A\to B</math> | ||
:<math>\mathbf{V}\quad | :<math>\mathbf{V}\quad B</math> | ||
:<math>\mathbf{F}\quad | :<math>\mathbf{F}\quad A</math> | ||
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====Exemplo 2==== | =====Exemplo 2===== | ||
:Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto: | :Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto: | ||
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[[ | [[Image:Tablo semantico da falacia afirmação do conjunto.gif]] | ||
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:Não caímos em contradição ao supor que B seja falsa enquanto ¬(A∧B) e ¬A são verdadeiras. Portanto, B não é conclusão de um argumento válido que tenha como premissas ¬(A∧B) e ¬A. | :Não caímos em contradição ao supor que B seja falsa enquanto ¬(A∧B) e ¬A são verdadeiras. Portanto, B não é conclusão de um argumento válido que tenha como premissas ¬(A∧B) e ¬A. | ||
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Edição das 00h45min de 19 de janeiro de 2007
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Tablôs semânticos
- Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.
- Provar por contradição consiste em provar a verdade de supondo que é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se supor que é falso é contraditório, então é verdadeiro. Em outras palavras, se ao assumirmos a hipótese , dela derivamos e , então devemos inferir .
- Este tipo de prova é bastante recorrente na filosofia e na matemática, assim como na lógica.
- As vantagens do tablô sobre as tabelas de verdade são:
- A tabelas não funcionam com vários sistemas, como o CQC.
- Os tablôs são mais práticos, fáceis e rápidos de serem feitos.
Tablôs de Fórmulas
Exemplo 1
- Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) é uma tautologia.
- O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:
- Agora desenvolveremos esta suposição. Podemos ver que temos uma subfórmula desta fórmula, , implicando em outra, . Só existe um caso no qual uma implicação é falsa: quando o antecedente (fórmula a esquerda do conectivo) é verdadeiro enquanto o conseqüente (fórmula da direita) é falso:
- É feita uma marca(aqui um "ok") nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.
- Mais uma vez, se é falso, então o antecedente é verdadeiro enquanto o conseqüente é falso:
- Oras, a fórmula está com dois valores. Isto é contradição. Supor que seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.
Exemplo 2
- Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, , é tautológica.
- O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:
Podemos ver que temos uma subfórmula desta fórmula, , implicando em outra, . Como estamos supondo que a fórmula é falsa, então devemos supor que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
- Na terceira linha temos a falsidade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:
- Como acabamos com o fragmento , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Oras, se estamos supondo que uma conjunção é verdadeira, temos que supor que ambas subfórmulas conjuntas são verdadeiras:
- Na quinta linha temos a verdade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.
- Agora, lidar com a verdade de é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em três casos:
- Verdade tanto do antecedente quanto do conseqüente .
- Falsidade do antecedente e verdade do conseqüente.
- Falsidade tanto do antecedente quanto do conseqüente.
- Repare que as possibilidades 2 e 3 poderiam ser resumidas numa só: Falsidade do antecedente. Da mesma forma, as possibilidades 1 e 2 podem ser resumidas da seguinte forma: Verdade do conseqüente. Isto nos obriga a ramificar o tablô.
- O tablô fica, então, desta forma:
Exemplo 3
- Façamos mais um tablô para ver como lidar com todos os quatro conectivos mais usuais. Uma das leis de Morgan, , parece bastante adequada para este fim.
- O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:
- Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:
- Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula ¬(α∨β) que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:
- Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:
- Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas (digamos, ) é falsa em três casos:
- é falsa enquanto é verdadeira
- é verdadeira enquanto é falsa
- Tanto e são falsas.
- Mas não há necessidade de criarmos mais três ramos, pois da mesma forma que resumimos as possibilidades de verdade da implicação, podemos resumir as possibilidades da falsidade da conjunção. Assim, uma ou outra subfórmula ( ou ) da conjunção é falsa:
Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:
- Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção (digamos, ) é verdadeira em três casos:
- Tanto e são verdadeiras.
- é verdadeira enquanto é falsa.
- é falsa enquanto é verdadeira.
- Estes três casos podem ser resumidos em: ou é verdadeira. O tablô se divide em mais dois ramos:
Exemplo 4
- Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, :
- Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.
Exemplo 5
- Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como :
Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).
Regras de Construção de Tablôs
Segue adiante as regras de construção de tablôs:
- Um tablô está completo se:
- todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.
- Ou se:
- todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.
Tablôs de Argumentos
- Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.
- De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.
- Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.
Exemplo 1
- Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,
- Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:
Exemplo 2
- Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:
- Não caímos em contradição ao supor que B seja falsa enquanto ¬(A∧B) e ¬A são verdadeiras. Portanto, B não é conclusão de um argumento válido que tenha como premissas ¬(A∧B) e ¬A.
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