Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos: mudanças entre as edições
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==Tablôs semânticos== | |||
Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra. | |||
Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente. | |||
Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo é a construção dos '''tablôs semânticos'''. | |||
Tablôs semânticos - também conhecidos como '''tableaux''' ou '''árvores''' - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição. | |||
=====Exemplo 1 | Provar por contradição consiste em provar a verdade de <math>\psi\!\,</math> supondo que <math>\psi\!\,</math> é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se <math>\psi\!\,</math> é falso é contraditório, então <math>\psi\!\,</math> é verdadeiro. | ||
Em outras palavras, se <math>\mathfrak{v}\left(\psi\right)=\mathrm{F}\Longrightarrow \mathfrak{v}\left(\varphi\right)=\mathrm{V}\ ,\ \mathfrak{v}\left(\varphi\right)=\mathrm{F}</math> então devemos inferir <math>\mathfrak{v}\left(\psi\right)=\mathrm{V}</math>. | |||
===Tablôs de Fórmulas=== | |||
====Exemplo 1==== | |||
:Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> é uma tautologia. | :Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> é uma tautologia. | ||
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:Agora desenvolveremos esta suposição. | :Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem <math>\alpha \,\!</math> como antecedente e <math>\alpha\to \beta \,\!</math> como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é ''falso'' se e somente se o antecedente é ''verdadeiro'' e o consequente, ''falso''. Portanto, vamos inserir isto no tablô. | ||
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:<math>\mathbf{F}\quad\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\quad | :<math>\mathbf{F}\quad\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]] | ||
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:É feita uma marca( | :É feita uma marca ([[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]) nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente. | ||
:Mais uma vez, se <math>\beta\to \alpha</math> é falso, então o antecedente <math>\beta \,\!</math> é verdadeiro enquanto o conseqüente <math>\alpha \,\!</math> é falso: | :Mais uma vez, se <math>\beta\to \alpha</math> é falso, então o antecedente <math>\beta \,\!</math> é verdadeiro enquanto o conseqüente <math>\alpha \,\!</math> é falso: | ||
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Este tablô nos mostra que <math>\mathfrak{v}\left(\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\right)=\mathrm{F}\Longrightarrow \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{V}\ ,\ \mathfrak{v}\left(\alpha\right)=\mathrm{F}</math>. | |||
:Oras, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> está com dois valores. Isto é contradição. Supor que <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia. | :Oras, a fórmula <math>\alpha \,\!</math> está com dois valores. Isto é contradição. Supor que <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, <math>\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )</math> sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia. | ||
====Exemplo 2==== | |||
:Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o ''modus tollens'', <math>\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha</math> , é tautológica. | :Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o ''modus tollens'', <math>\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha</math> , é tautológica. | ||
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Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação: | |||
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:Como acabamos com o fragmento <math>\neg \alpha</math> , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. | :Como acabamos com o fragmento <math>\neg \alpha</math> , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras: | ||
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:<math>\mathbf{F}\quad\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha\quad | :<math>\mathbf{F}\quad\left(\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta\right)\right)\to \neg\alpha\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]] | ||
:<math>\mathbf{V}\quad\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta \right)\quad | :<math>\mathbf{V}\quad\neg \beta\land\left(\alpha\to \beta \right)\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]] | ||
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: Agora, lidar com a verdade de <math>\alpha\to \beta</math> é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em | : Agora, lidar com a verdade de <math>\alpha\to \beta</math> é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ''ou'' o conseqüente é verdadeiro. | ||
:O tablô fica, então, desta forma: | :O tablô fica, então, desta forma: | ||
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Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica. | |||
:Façamos | |||
====Exemplo 3==== | |||
:Façamos um tablô de uma fórmula que envolva vários conectivos usuais. Uma das leis de Morgan, | |||
<math>\neg \left(\alpha\lor \beta\right)\leftrightarrow\left(\neg \alpha\land\neg \beta\right)</math> , parece bastante adequada para este fim. | |||
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:Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula | :Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula <math>\neg \left(\alpha \lor \beta\right)</math>, que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação: | ||
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:Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas | :Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas é falsa quando ao menos uma delas é falsa, o que nos obriga a ramificar o tablô: | ||
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:Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção | :Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas é verdadeira se e somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tablô: | ||
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Como podemos ver, o tablô fechou em todos os seus ramos. A fórmula é, portanto, tautológica. | |||
''Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas. Como já foi explicado, chamar "esquemas de fórmulas" por "fórmulas" é uma economia de linguagem.'' | |||
====Exemplo 4==== | |||
:Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, <math>\neg\left(\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\right)</math>: | :Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, <math>\neg\left(\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\right)</math>: | ||
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:Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia. | :Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia. | ||
====Exemplo 5==== | |||
:Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como <math>\left(\varphi\lor \psi\right)\to \psi</math> : | :Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como <math>\left(\varphi\lor \psi\right)\to \psi</math> : | ||
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:Um tablô está ''completo'' se: | :Um tablô está ''completo'' se: | ||
*todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido. | |||
:Ou se: | :Ou se: | ||
*todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido. | |||
====Tablôs de Argumentos | ====Exercício==== | ||
Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas: | |||
# <math>\left(A\land B\right)\to \neg\neg A</math> | |||
# <math>A\to \neg A</math> | |||
# <math>\left(C \to \left(D \to E\right)\right)\to \left(\left(C\to D\right)\to \left(C\to E\right)\right)\,\!</math> | |||
# <math>\neg P \to \left(P\to Q\right)\,\!</math> | |||
# <math>P \to \left(P\to Q\right)\,\!</math> | |||
# <math>\left(A\lor B\right)\to \left(A\land B\right)\,\!</math> | |||
# <math>\left(A\to \left(B\to C\right)\right)\leftrightarrow \left(B\to\left(A\to C\right)\right)\,\!</math> | |||
# <math>\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow\left(\neg A\lor\neg B\right)</math> | |||
# <math>\neg \left(A\land B\right)\leftrightarrow\left(\neg A\land\neg B\right)</math> | |||
# <math>\left(P\to Q\right)\to P</math> | |||
# <math>\left(\left(P\to Q\right)\to P\right)\to P</math> | |||
[[/Respostas/|Confira suas respostas]] | |||
===Tablôs de Argumentos=== | |||
:Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica. | :Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica. | ||
: De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido. | : De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido. | ||
: Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor. | : Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor. | ||
====Exemplo 1==== | |||
: Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens, | : Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens, | ||
:<math>\left \{A\to B\ , \neg B\right \}\vDash \neg A </math> | :<math>\left \{A\to B\ , \neg B\right \}\vDash \neg A </math> | ||
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:<math>\mathbf{V}\quad A\to B</math> | :<math>\mathbf{V}\quad A\to B</math> | ||
:<math>\mathbf{V}\quad B</math> | :<math>\mathbf{V}\quad \neg B</math> | ||
:<math>\mathbf{F}\quad A</math> | :<math>\mathbf{F}\quad \neg A</math> | ||
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:Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora: | :Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora: | ||
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[[ | [[Imagem:Tabloexemplo2.png]] | ||
</div> | </div> | ||
====Exemplo 2==== | |||
:Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto: | :Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto: | ||
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[[ | [[Imagem:Tabloxx.png]] | ||
</div> | </div> | ||
:Não caímos em contradição ao supor que B seja falsa enquanto | :Não caímos em contradição ao supor que <math>B\,\!</math> seja falsa enquanto <math>\neg\left(A\land B\right)</math> e <math>\neg A\,\!</math> são verdadeiras. Portanto, <math>B\,\!</math> não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas <math>\left\{\neg\left(A\land B\right) , \neg A\right\}</math> | ||
====Exercício==== | |||
Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo "<math>\therefore</math>" são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões. | |||
# <math>\varphi\therefore \varphi\lor\psi\,\!</math> | |||
# <math>\left \{\varphi\to \psi , \psi\to \chi\right\}\therefore \varphi\to \chi\,\!</math> | |||
# <math>\delta \to \gamma \therefore \neg \delta \to \neg \gamma\,\!</math> | |||
# <math>\left\{\alpha \lor \beta , \neg\alpha\right\}\therefore \beta\,\!</math> | |||
# <math>\left\{\alpha \lor \beta , \alpha\right\}\therefore \neg\beta\,\!</math> | |||
# <math>\delta \to \gamma \therefore \neg \gamma \to \neg \delta\,\!</math> | |||
# <math>\left\{\varphi\to \psi , \psi \to \varphi\right\}\therefore \varphi \leftrightarrow \psi</math> | |||
# <math>\left\{\varphi \to \chi , \delta \to \chi\right\}\therefore \left(\varphi\lor \delta\right)\to \chi\,\!</math> | |||
# <math>\neg\left(\alpha\land\beta\right)\therefore \neg\alpha\,\!</math> | |||
# <math>\neg\alpha\therefore \neg\left(\alpha\land\beta\right)\,\!</math> | |||
[[/Respostas/|Confira suas respostas]] | |||
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Edição atual tal como às 16h45min de 2 de fevereiro de 2019
Tablôs semânticos
Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra.
Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente.
Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo é a construção dos tablôs semânticos.
Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.
Provar por contradição consiste em provar a verdade de supondo que é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se é falso é contraditório, então é verdadeiro.
Em outras palavras, se então devemos inferir .
Tablôs de Fórmulas
Exemplo 1
- Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) é uma tautologia.
- O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:
- Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem como antecedente e como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é falso se e somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tablô.
- É feita uma marca (Arquivo:Crystal Clear gray action button ok.png) nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.
- Mais uma vez, se é falso, então o antecedente é verdadeiro enquanto o conseqüente é falso:
Este tablô nos mostra que .
- Oras, a fórmula está com dois valores. Isto é contradição. Supor que seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.
Exemplo 2
- Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, , é tautológica.
- O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:
Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação:
- Na terceira linha temos a falsidade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:
- Como acabamos com o fragmento , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras:
- Na quinta linha temos a verdade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.
- Agora, lidar com a verdade de é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro.
- O tablô fica, então, desta forma:
Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica.
Exemplo 3
- Façamos um tablô de uma fórmula que envolva vários conectivos usuais. Uma das leis de Morgan,
, parece bastante adequada para este fim.
- O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:
- Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:
- Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula , que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:
- Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:
- Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas é falsa quando ao menos uma delas é falsa, o que nos obriga a ramificar o tablô:
Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:
- Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas é verdadeira se e somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tablô:
Como podemos ver, o tablô fechou em todos os seus ramos. A fórmula é, portanto, tautológica.
Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas. Como já foi explicado, chamar "esquemas de fórmulas" por "fórmulas" é uma economia de linguagem.
Exemplo 4
- Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, :
- Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.
Exemplo 5
- Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como :
Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).
Regras de Construção de Tablôs
Segue adiante as regras de construção de tablôs:
- Um tablô está completo se:
- todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.
- Ou se:
- todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.
Exercício
Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas:
Tablôs de Argumentos
- Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.
- De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.
- Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.
Exemplo 1
- Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,
- Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:
Exemplo 2
- Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:
- Não caímos em contradição ao supor que seja falsa enquanto e são verdadeiras. Portanto, não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas
Exercício
Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo "" são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões.