Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos
Tablôs semânticos
Como vimos, as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração, o que nos permite determinar se elas são tautologias, contradições ou contingentes. Também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas, e assim dizer se são contraditórias entre si, equivalentes ou se uma é conseqüencia lógica da outra.
Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula é tautológica ou um argumento é válido. Caso a fórmula ou o argumento seja complexo, poderíamos demorar muito até terminar a tabela, ou, no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido, encontrar a valoração na qual a fórmula é falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão é falsa, respectivamente.
Neste caso, seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual a fórmula seja falsa ou a premissa seja verdadeira, ou uma valoração na qual a premissa seja verdadeira enquanto a conclusão seja falsa. Este metodo são os tablôs semânticos.
Tablôs semânticos - também conhecidos como tableaux ou árvores - consistem num método de provar que uma fórmula é tautologia ou que um argumento é válido por contradição.
Provar por contradição consiste em provar a verdade de supondo que é falso, desenvolvendo a idéia da falsidade até chegar a uma contradição. Oras, se é falso é contraditório, então é verdadeiro.
Em outras palavras, se então devemos inferir .
Tablôs de Fórmulas
Exemplo 1
- Comecemos então com as tautologias. Vamos provar que a fórmula (ou mais precisamente, esquema de fórmula) é uma tautologia.
- O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:
- Agora desenvolveremos esta suposição. A fórmula consiste em uma implicação que tem como antecedente e como conseqüente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicação é falso se e somente se o antecedente é verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tablô.
- É feita uma marca (Arquivo:Crystal Clear gray action button ok.png) nas fórmulas usadas, pois estas não podem ser usadas novamente.
- Mais uma vez, se é falso, então o antecedente é verdadeiro enquanto o conseqüente é falso:
Este tablô nos mostra que .
- Oras, a fórmula está com dois valores. Isto é contradição. Supor que seja falso nos leva a uma contradição. Assim sendo, sempre é verdadeira, ou seja, é uma tautologia.
Exemplo 2
- Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a fórmula que descreve o modus tollens, , é tautológica.
- O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:
Já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação:
- Na terceira linha temos a falsidade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é falsa, então temos que supor que a fórmula seja verdadeira:
- Como acabamos com o fragmento , marcamos isto. Agora voltemos nossa atenção à segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjunção. Uma conjunção é verdadeira se e somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras:
- Na quinta linha temos a verdade da negação de . Oras, se estamos supondo que a negação de uma fórmula é verdadeira, devemos supor que a fórmula seja falsa.
- Agora, lidar com a verdade de é mais complicado. Afinal, uma implicação entre duas fórmulas é verdadeira em dois casos, quando o antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro.
- O tablô fica, então, desta forma:
Sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração, o tablô é ramificado; e é necessário que todos os ramos entrem caiam em contradição para que a fórmula seja tautológica.
Exemplo 3
- Façamos mais um tablô para ver como lidar com todos os quatro conectivos mais usuais. Uma das leis de Morgan, , parece bastante adequada para este fim.
- O primeiro passo já sabemos muito bem qual é:
- Se estamos supondo a falsidade da bi-implicação entre duas subfórmulas, temos que supor que uma é falsa e a outra é verdadeira. Já temos uma ramificação:
- Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a fórmula ¬(α∨β) que está marcada como verdadeira. Já sabemos bem como lidar com a verdade de uma negação:
- Agora temos uma situação nova: a falsidade de uma disjunção. Oras! Se estamos supondo que a disjunção entre duas fórmulas é falsa, temos que supor que ambas são falsas:
- Mais uma novidade para nós: a falsidade de uma conjunção. Sabemos que a conjunção entre duas fórmulas (digamos, ) é falsa em três casos:
- é falsa enquanto é verdadeira
- é verdadeira enquanto é falsa
- Tanto e são falsas.
- Mas não há necessidade de criarmos mais três ramos, pois da mesma forma que resumimos as possibilidades de verdade da implicação, podemos resumir as possibilidades da falsidade da conjunção. Assim, uma ou outra subfórmula ( ou ) da conjunção é falsa:
Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa atenção para o direito:
- Já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjunção. Sabemos que uma disjunção (digamos, ) é verdadeira em três casos:
- Tanto e são verdadeiras.
- é verdadeira enquanto é falsa.
- é falsa enquanto é verdadeira.
- Estes três casos podem ser resumidos em: ou é verdadeira. O tablô se divide em mais dois ramos:
Exemplo 4
- Agora vejamos como fica o tablô no caso de uma contradição, tal como a negação da primeira tautologia que fizemos tablô, :
- Todas fórmulas moleculares foram usadas. Não hás mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. Não caímos em contradição ao supor que a fórmula seja falsa. Portanto ela não consiste numa tautologia.
Exemplo 5
- Vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente, tal como :
Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).
Regras de Construção de Tablôs
Segue adiante as regras de construção de tablôs:
- Um tablô está completo se:
- todos ramos do tablô fecharem (caírem em contradição). Neste caso a fórmula é tautológica ou argumento é válido.
- Ou se:
- todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (não cair em contradição) então a fórmula não é tautológica ou o argumento não é válido.
Exercício
Determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas:
Tablôs de Argumentos
- Para verificar se uma fórmula é tautológica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposição e, se cairmos em contradição, é porque a fórmula é mesmo tautológica.
- De forma análoga, para verificar se um argumento é válido - ou seja, é de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira – supomos que ele seja inválido.
- Se um argumento é inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. É justamente isto que vamos supor.
Exemplo 1
- Vejamos como ficara o tablô de um argumento que já conhecemos, o Modus tollens,
- Oras, só muda o passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas. Já sabemos como proceder agora:
Exemplo 2
- Agora vejamos como fica uma falácia no tablô. Peguemos uma que já conhecemos, tal como a afirmação do termo disjunto:
- Não caímos em contradição ao supor que seja falsa enquanto e são verdadeiras. Portanto, não é conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas
Exercício
Determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não. Lembre-se que as fórmulas à esquerda do símbolo são as premissas, enquanto as fórmulas à direita, as respectivas conclusões.