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Lógica/Princípio da Explosão, Lei de Dun Scot, Prefixação e as propriedades antiintuitivas da implicação: mudanças entre as edições
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Edição das 00h40min de 3 de fevereiro de 2006
Princípio da Explosão
- Ex contradictione (sequitur) quodlibet
- Existe uma tautologia bastante "estranha" - ou melhor, expressa uma perplexidade lógica - conhecida como princípio da explosão:(α∧¬α)→β
- F (α∧¬α)→β
- V α∧¬α OK
- F β
- V α
- V ¬α OK
- F α
- X
α | β | ¬α | α∧¬α | (α∧¬α)→β |
V | V | F | F | V |
V | F | F | F | V |
F | V | V | F | V |
F | F | V | F | V |
- Isto pode nos deixar mais perplexos se vermos que é válido o seguinte argumento:
- A
- ¬A
- Arquivo:Tautology symbol.png B
- ou
- A∧¬A
- Arquivo:Tautology symbol.png B
- Veja que eles são válidos:
- V A∧¬A
- F B
- V A
- V ¬A OK
- F A
- X
- Existem duas coisas muito estranhas neste argumento:
- 1º) A presença de uma contradição ou fórmulas contraditórias entre si como premissas.
- 2º) A ocorrência de um termo na conclusão que não aparece nas premissas.
- Quer dizer, temos que aceitar como válido, segundo os princípios do CPC, o seguinte argumento:
- Eu existo.
- Eu não existo.
- Logo, o céu é azul.
- Muitos devem ter indagado:
- - Oras! A definição de validade lógica de um argumento é que ele é válido se, e somente se, caso as premissas sejam verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira. Mas neste caso as premissas nunca são (ambas) verdadeiras. Como ele pode ser válido?
- O fato é que "num argumento logicamente válido, sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira" é equivalente a "num argumento logicamente válido, nunca as premissas serão verdadeiras enquanto a conclusão é falsa".
- E como está evidente na tabela seguinte, neste argumento, as premissas nunca são (ambas) verdadeiras enquanto a conclusão é falsa:
α | β | ¬α | α∧¬α |
V | V | F | F |
V | F | F | F |
F | V | V | F |
F | F | V | F |
- Pode parecer um argumento inútil. Afinal, quem argumentaria com premissas cuja falsidade é evidente pela própria estrutura? Mas ele expressa algo muito interessante: pela lógica clássica, sistemas que aceitam contradição devem aceitar qualquer teorema. Em outras palavras: inconsistência implica em trivialidade.
Lei de Dun Scot
- Ex falso quodlibet
- Mais uma tautologia "estranha": ¬α→(α→β)
- F ¬α→(α→β)
- V ¬α OK
- F α→β
- F α
- F β
- V α
- X
- Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é falso, então α implica em qualquer coisa". O que, assim como o Princípio da Explosão, é decorrência do fato que se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira, seja o conseqüente falso ou verdadeiro.
Prefixação
- Mais uma tautologia envolvendo a implicação que pode nos deixar perplexos: α→(β→α)
- F α→(β→α)
- V α
- F β→α
- V β
- F α
- X
- Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é verdadeiro, então qualquer coisa implica em α". O que é decorrência do fato que uma implicação é verdadeira se o conseqüente for verdadeiro
Propriedades antiintuitivas da Implicação
- A função de verdade da implicação pode ser expressa assim:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \left(\alpha\land \neg \beta\right) }
- Ou seja: É falso que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } seja verdadeiro e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } seja falso.
- Basta fazer a tabela de verdade para verificar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \left(\alpha\land \neg \beta\right) } é equivalente a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\to \beta } :
A | B | ¬B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | A→B |
V | V | F | F | V | V |
V | F | V | V | F | F |
F | V | F | F | V | V |
F | F | V | F | V | V |
- A função de verdade da implicação expressa justamente: “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. O que só é falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente não.
- Repare a semelhança disto com a definição de argumento logicamente válido: “um argumento é logicamente válido se sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira". É devido a isto que, se uma fórmula formada por uma implicação é tautologia, então um argumento onde o antecedente desta fórmula seja a premissa e o conseqüente da mesma seja a conclusão é logicamente válido. Ex:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \to \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \vDash \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \to \neg \neg \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \vDash \neg \neg \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \neg \alpha \to \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neg \neg \alpha \vDash \alpha}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left (\alpha\land \left (\alpha\to \beta\right )\right )\to \beta }