Matemática elementar/Exponenciais: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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== Definição de Potência== | == Definição de Potência== | ||
Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado '''expoente''', que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma <math>x^{n}</math>, onde '''n''' é o '''expoente''' e ''x'' é a '''base'''. | Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado '''expoente''', que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma <math>x^{n}</math>, onde '''n''' é o '''expoente''' e ''x'' é a '''base'''. | ||
A potência <math>4^{3}</math>, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja <math>4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64</math>. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (<math>7^1 = 7</math>), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas | A potência <math>4^{3}</math>, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja <math>4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64</math>. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (<math>7^1 = 7</math>), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (<math>16^0</math> = 1). | ||
A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0. | A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0. | ||
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| width="50%" |Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, | | width="50%" |Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases. | ||
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| width="50%" |Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, | | width="50%" |Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. | ||
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== Equações envolvendo potências == | == Equações envolvendo potências == | ||
=== Equações do tipo a | === Equações do tipo a<sup>f(x)</sup> = b<sup>g(x)</sup> === | ||
Equações do tipo | Equações do tipo | ||
: <math>a^{f(x)} = a^{g(x)}\,</math> | : <math>a^{f(x)} = a^{g(x)}\,</math> | ||
onde ''a'' é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se ''f(x)'' a ''g(x)''. | onde ''a'' é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se ''f(x)'' a ''g(x)''. | ||
No caso mais | No caso mais geral: | ||
: <math>a^{f(x)} = b^{g(x)}\,</math> | : <math>a^{f(x)} = b^{g(x)}\,</math> | ||
é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais. | é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais. | ||
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: <math>4^3 = 8^2\,</math> (ok) | : <math>4^3 = 8^2\,</math> (ok) | ||
=== Equações do tipo f(a | === Equações do tipo f(a<sup>x</sup>) = 0 === | ||
As equações do tipo | As equações do tipo | ||
: <math>f({a^x}) = 0\,</math> | : <math>f({a^x}) = 0\,</math> | ||
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Aplicando a fórmula de Bhaskara: | Aplicando a fórmula de Bhaskara: | ||
: <math>y = \frac{-8 | : <math>y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 (3) (-3)}}{2 (3)}\,</math> | ||
: <math>y = \frac{-8 | : <math>y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}\,</math> | ||
: <math>y =\frac{-8 | : <math>y =\frac{-8 \pm \sqrt{100}}{6}\,</math> | ||
Ou seja, as duas raízes são: | Ou seja, as duas raízes são: |
Edição atual tal como às 19h24min de 6 de maio de 2020
Definição de Potência
Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma , onde n é o expoente e x é a base.
A potência , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ( = 1).
A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.
Operações com Potências
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.
Multiplicação
Com a mesma base
Para efetuar a multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes. |
Com o mesmo expoente
Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases. |
Com a mesma base e o mesmo expoente
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Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras. |
Divisão
Com a mesma base
Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. |
Com o mesmo expoente
Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases. |
Com a mesma base e o mesmo expoente
|
Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras. |
(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como e então .
Observe que isto não é a prova que pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.
Equações envolvendo potências
Equações do tipo af(x) = bg(x)
Equações do tipo
onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).
No caso mais geral:
é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.
Exemplo
- Resolva:
O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar ou (exercício), mas é bem mais simples transformar e :
Aplicando a propriedade :
Agora temos uma equação da forma :
Verificando:
- (ok)
Equações do tipo f(ax) = 0
As equações do tipo
são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada é resolvida pela substituição . Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.
Exemplo
- Resolva a equação
De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como , temos:
Usando agora a propriedade :
Ainda temos um problema! É preciso transformar em uma expressão onde esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade :
Então a expressão fica:
Resolvendo:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Ou seja, as duas raízes são:
A primeira solução, y = -3, gera uma equação sem solução em x, porque é sempre um valor positivo e não pode ser igual a -3.
A segunda solução fornece:
Ou seja:
- x = -1
Verificando, temos que:
- (ok)
Inequações envolvendo potências
Gráficos de funções exponenciais
Exercícios
- Ver Exercícios
81²+81²+81²=
Ver também
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