Matemática elementar/Expressões algébricas: mudanças entre as edições
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(Produtos Notaveis) |
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<math>x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! </math> | <math>x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! </math> | ||
Considere o polinômio <math>m^2-n^2</math>, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo <math>\sqrt{m^2}=m</math> menos a raiz quadrada do segundo termo <math>-\sqrt{n^2}=-n</math>, logo temos <math>\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n</math>, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: <math>(m-n).(m+n)</math>, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: <math>m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)</math>, ou | Considere o polinômio <math>m^2-n^2</math>, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo <math>\sqrt{m^2}=m</math> menos a raiz quadrada do segundo termo <math>-\sqrt{n^2}=-n</math>, logo temos <math>\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n</math>, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: <math>(m-n).(m+n)</math>, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: <math>m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)</math>, ou simplesmenta <math>m^2-n^2=(m-n).(m+n)</math>. | ||
Outros exemplos: | Outros exemplos: | ||
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=== Fatoração do trinômio do segundo grau === | === Fatoração do trinômio do segundo grau === | ||
# Observe o trinômio <math>x^2-2x-35</math>, cuja forma fatorada é <math>(x-7).(x+5)</math>, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados de<ref>Produtos notaveis</ref> o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos: | |||
Observe o trinômio <math>x^2-2x-35</math>, cuja forma fatorada é <math>(x-7).(x+5)</math>, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados | |||
* <math>a^2+8a+12=(a+2).(a+6)</math> | * <math>a^2+8a+12=(a+2).(a+6)</math> |
Edição das 15h22min de 16 de maio de 2015
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
.
Exemplos:
Quadrado da diferença de dois termos
Exemplos:
Cubo da soma de dois termos
Exemplos:
Cubo da diferença de dois termos
Exemplos:
Exercícios
Fatoração algébrica
Fatoração pelo fator comum em evidência
Considere o polinômio , seu fator comum em evidência é , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência e , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:
Fatoração por agrupamento
Observe o polinômio . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
, obtemos a fatoração de , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: . A forma fatorada de .
Outro exemplo:
Fatoração da diferença de dois quadrados
Considere o polinômio , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo , logo temos , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: , ou simplesmenta .
Outros exemplos:
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Considere o polinômio , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (): , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é .
Outro exemplo:
ou
Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
As expressões usadas são:
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
, tendo este cálculo como base, podemos dizer que , logo, a fatoração do polinômio é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo , o produto dos dois termos com o sinal oposto mais o quadrado do segundo termo , formando:.
Outros exemplos:
Fatoração do trinômio do segundo grau
- Observe o trinômio , cuja forma fatorada é , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados de[1] o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
Fatoração completa
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: , note que o primeiro termo da fatoração [] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: , assim, temos a fatoração completa do polinômio .
Outros exemplos:
Fatoração por artifício
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: .
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:
Polinômios irredutíveis
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.
Exercícios
Problemas resolvidos
Caso 1
Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.
- Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
- Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?
Caso 2
O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:
- ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
- Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.
Caso 3
Diferença entre dois quadrados.
Caso 4
Trinômio quadrado perfeito.
Caso 5
Soma e produto
Caso 6
Exercícios
Fração algébrica
Simplificação
15x²-15xy²=15x(x-y²)
Operações
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Referências
Wikipédia
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- ↑ Produtos notaveis