Matemática elementar/Função quadrática: mudanças entre as edições
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Observe o exemplo que segue: | |||
{{ênfase| 1= Um barril tem o formato de um cilindro circular reto e é utilizado para armazenar petróleo. Ele tem a capacidade ''V'' de armazenar 160 litros e sua altura ''h'' tem <math> \tfrac 4 {\pi}</math> metro. Quantos ''x'' metros devem ser somados ao raio do barril para que seu volume aumente ''y'' litros?}} | |||
A resposta para este problema é uma '''função quadrática''', que pode ser deduzida pelo seguinte modo: | |||
*O volume do cilindro é dado por seu raio ''r'' (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos): | |||
:<math>V = r^2 \pi h \to \frac {4} {25} = \frac {4 r^2 \pi} {\pi} \to r = \frac 1 5</math> | |||
*Introduzindo ''x'' e ''y'' ao cálculo: | |||
:<math> \frac {4} {25} + y = \frac {4 \pi ( \frac 1 5 + x)^2} { \pi}</math> | |||
*Resolvendo: | |||
:<math> \frac {4} {25} + y = \frac 4 {25} + 4x^2 + \frac {8x} 5</math> | |||
*Que simplificada: | |||
:<math>y = \frac {20x^2 + 8x} 5</math> | |||
Que é a solução para o problema. a presença da variável ''x'' no segundo grau (x<sup>2</sup>) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada: | |||
{| {{prettytable}} width="100%" | |||
!width="10%" | x | |||
!width="6%" | -7 | |||
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!y | |||
|<center>184,8</center> | |||
|<center>134,4</center> | |||
|<center>92</center> | |||
|<center>57,6</center> | |||
|<center>31,2</center> | |||
|<center>12,8</center> | |||
|<center>2,4</center> | |||
|<center>0</center> | |||
|<center>5,6</center> | |||
|<center>19,2</center> | |||
|<center>40,8</center> | |||
|<center>70,4</center> | |||
|<center>108</center> | |||
|<center>153,6</center> | |||
|<center>207,8</center> | |||
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==Função quadrática== | ==Função quadrática== | ||
Edição das 03h27min de 8 de setembro de 2013
Observe o exemplo que segue:
A resposta para este problema é uma função quadrática, que pode ser deduzida pelo seguinte modo:
- O volume do cilindro é dado por seu raio r (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos):
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = r^2 \pi h \to \frac {4} {25} = \frac {4 r^2 \pi} {\pi} \to r = \frac 1 5}
- Introduzindo x e y ao cálculo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {4} {25} + y = \frac {4 \pi ( \frac 1 5 + x)^2} { \pi}}
- Resolvendo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {4} {25} + y = \frac 4 {25} + 4x^2 + \frac {8x} 5}
- Que simplificada:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \frac {20x^2 + 8x} 5}
Que é a solução para o problema. a presença da variável x no segundo grau (x2) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada:
x | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Função quadrática
A função quadrática é aquela onde sua variável independente, normalmente chamada x, apresenta grau 2, exemplo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= 2 x^2 - 3 x +1 \,\!}
É sempre uma parábola e é definida pela fórmula:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= ax^2 + bx + c \,\!}
A função quadrática, também conhecida por função de segundo grau, é muito comum em nossa vida, ela é usada para calcular o formato dos faróis de carros, antenas parabólicas, instrumentos, etc...
Zeros
Sempre que encontramos um valor da variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \,\!} onde a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \,\!} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)\,\!} é igual a zero chamamos este valor de zero da função. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x)=(x-p)(x-q)\,\!}
Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \,\!} . Observe que se o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\,\!} for igual a qualquer dos dois valores o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\,\!} será zero.
Os zeros da função são mais conhecidos como raízes.
A parábola
Sinais
Exemplos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^2-4 \,\!}
Exercícios
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