Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos: mudanças entre as edições
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Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida <math>b</math>. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida <math>\alpha</math> com a base do triângulo. | Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida <math>b</math>. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida <math>\alpha</math> com a base do triângulo. | ||
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Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida. | Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida. | ||
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Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos: | Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos: | ||
* Um '''triângulo retângulo''' possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se | * Um '''triângulo retângulo''' possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares. | ||
* Um '''triângulo obtusângulo''' possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. | * Um '''triângulo obtusângulo''' possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. | ||
* Em um '''triângulo acutângulo''', todos os três ângulos são agudos. | * Em um '''triângulo acutângulo''', todos os três ângulos são agudos. | ||
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===Critério LAL=== | ===Critério LAL=== | ||
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Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais. | |||
===Critério AA=== | ===Critério AA=== |
Edição atual tal como às 14h23min de 6 de julho de 2017
Tipos de triângulos
Classificação segundo a medida relativa dos lados
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
- Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
- Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
- Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:
Exemplo de triângulo equilátero
Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.
Exemplo de triângulo isósceles
Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida . Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida com a base do triângulo.
Exemplo de triângulo escaleno
Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.
Classificação de acordo com seus ângulos internos e externos em baixo
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
- Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
- Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
- Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
Exemplo de triângulo retângulo
- Um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º.
Exemplo de triângulo obtusângulo
- Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Exemplo de triângulo acutângulo
- Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º
Soma dos ângulos internos
Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
Soma dos ângulos externos
Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: a resposta final será assim: Resolução: , . Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.
Relações de desigualdades entre lados e ângulos
1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.
2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
Área do triângulo
Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:
- Dadas a base b e a altura h:
- Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido:
- Dados os três lados a, b e c: , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.
Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:
Congruência
Critério LLL
Lado-Lado-Lado.
Critério LAL
Lado-Ângulo-Lado.
Critério ALA
Ângulo-Lado-Ângulo.
Critério LLAr
Lado-Lado-Ângulo reto.
Semelhança
Critério LLL
Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.
Critério LAL
Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.
Critério AA
Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.
Referências
Ver também
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