Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
imported>MGFE Júnior (Rejeitou a última alteração do texto (de 200.180.50.28) e reverteu para a edição 236584 de Helder.wiki) |
imported>MGFE Júnior (Retirando informações falsas) |
||
Linha 1: | Linha 1: | ||
== Definição de | == Definição de logaritmo== | ||
Sejam ''a'' e ''b'' dois números reais. O logaritmo de <math>a</math> na base <math>b</math> é o expoente a que <math>b</math> deve ser elevado para que o resultado seja <math>a</math>. Em símbolos: | Sejam ''a'' e ''b'' dois números reais. O logaritmo de <math>a</math> na base <math>b</math> é o expoente a que <math>b</math> deve ser elevado para que o resultado seja <math>a</math>. Em símbolos: | ||
Linha 10: | Linha 10: | ||
Por exemplo, se <math>5^2=25</math>, podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências. | Por exemplo, se <math>5^2=25</math>, podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências. | ||
É importante definir | É importante definir que a base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1. | ||
== Operações com logaritmos == | == Operações com logaritmos == |
Edição das 21h11min de 4 de maio de 2013
Definição de logaritmo
Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de na base é o expoente a que deve ser elevado para que o resultado seja . Em símbolos:
Dizemos que b é a base e a é o logaritmando.
Por exemplo, se , podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências.
É importante definir que a base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.
Soma e subtração
Multiplicação por constante
Mudança de base
, para qualquer que seja a base (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
Demonstrações
Sejam:
Então:
Aplicando propriedades da exponenciação:
- Log do produto
Da expressão
concluímos que:
portanto:
- Log da fração
Analogamente, de:
concluímos que:
portanto:
- Log da potência
A partir de:
chegamos a:
ou seja:
- Mudança de base
Da última expressão:
chega-se a:
ou seja:
e, finalmente:
E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros. |