Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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Considere o seguinte exemplo: | |||
''Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.'' | |||
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples: | |||
:<math>2^x = 128</math> | |||
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla '''log<sub>2</sub>''': | |||
:<math>\log_{2}128 = 7</math> | |||
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima. | |||
A tecla '''log''' nada mais faz que descobrir um '''logaritmo'''. | |||
== Definição de logaritmo== | |||
Um logaritmo pode ser descrito como: | |||
:<math>\log_{x}b = a \iff x^a = b \iff \sqrt [a] {b} = x</math> | |||
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (''a, b'' ou ''c'') é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes. | |||
Vejamos um exemplo numérico abaixo: | |||
:<math>2^3 = 8</math> | |||
:<math>\sqrt [3] 8 = 2</math> | |||
:<math>\log_{2}8 = 3</math> | |||
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2. | |||
== Operações com logaritmos == | == Operações com logaritmos == |
Edição das 21h46min de 4 de maio de 2013
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.
Soma e subtração
Multiplicação por constante
Mudança de base
, para qualquer que seja a base (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
Demonstrações
Sejam:
Então:
Aplicando propriedades da exponenciação:
- Log do produto
Da expressão
concluímos que:
portanto:
- Log da fração
Analogamente, de:
concluímos que:
portanto:
- Log da potência
A partir de:
chegamos a:
ou seja:
- Mudança de base
Da última expressão:
chega-se a:
ou seja:
e, finalmente:
E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
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