Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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== Definição de logaritmo== | == Definição de logaritmo== | ||
Um logaritmo pode ser descrito como: | Um logaritmo pode ser descrito como: | ||
:<math>\log_{ | :<math>\log_{a}b = c \iff a^c = b \iff \sqrt [c] {b} = a</math> | ||
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (''a, b'' ou ''c'') é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes. | Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (''a, b'' ou ''c'') é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes. | ||
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:<math>\log_{2}8 = 3</math> | :<math>\log_{2}8 = 3</math> | ||
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2. | Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2. | ||
== Função logaritmica == | |||
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log<sub>2</sub> x: | |||
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|<center>8</center> | |||
|<center>16</center> | |||
|<center>32</center> | |||
|<center>64</center> | |||
|<center>128</center> | |||
|<center>256</center> | |||
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Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, que quanto menor for ''x'', mais próximo de zero será ''y'', mas não há valor para ''x'' que faça ''y'' ser nulo. Diz-se, então, que zero é o '''limite''' da função f (x) = log<sub>2</sub> x. | |||
Ao ser representada por | |||
:<math>f (x) = a\log + b</math> | |||
define-se que ''b'' é o limite da função, e ''a'' o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Definiremos, agora, o contradomínio de y = (-2)<sup>x</sup>: | |||
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|<center> 0,25</center> | |||
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|<center> -2</center> | |||
|<center> 4</center> | |||
|<center> -8</center> | |||
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Veja que os valores de ''y'' possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo log<sub>a</sub> b = c em que ''a'' < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa! | |||
== Operações com logaritmos == | == Operações com logaritmos == |
Edição das 00h12min de 8 de maio de 2013
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Função logaritmica
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, que quanto menor for x, mais próximo de zero será y, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Diz-se, então, que zero é o limite da função f (x) = log2 x.
Ao ser representada por
define-se que b é o limite da função, e a o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Definiremos, agora, o contradomínio de y = (-2)x:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Veja que os valores de y possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.
Soma e subtração
Multiplicação por constante
Mudança de base
, para qualquer que seja a base (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
Demonstrações
Sejam:
Então:
Aplicando propriedades da exponenciação:
- Log do produto
Da expressão
concluímos que:
portanto:
- Log da fração
Analogamente, de:
concluímos que:
portanto:
- Log da potência
A partir de:
chegamos a:
ou seja:
- Mudança de base
Da última expressão:
chega-se a:
ou seja:
e, finalmente:
E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
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