Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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*Substituímos com o resultado em (II): | *Substituímos com o resultado em (II): | ||
:<math> \log_b c^x = \frac {x} {y} </math> | :<math> \log_b c^x = \frac {x} {y} </math> | ||
*Sabemos c< | *Sabemos c<sup>x</sup> em (I): | ||
:<math> \log_b a = \frac {x} {y}</math> | :<math> \log_b a = \frac {x} {y}</math> | ||
*Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II): | *Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II): |
Edição das 18h26min de 7 de junho de 2015
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Função logaritmica
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, que quanto menor for x, mais próximo de zero será y, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Diz-se, então, que zero é o limite da função f (x) = log2 x.
Ao ser representada por
define-se que b é o limite da função, e a o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Definiremos, agora, o contradomínio de y = (-2)x:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Veja que os valores de y possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos logca = x, e logcb = y. Assim, cx = a, e cy = b.
Soma
Demonstração:
- Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
- Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
- Como cx = a, cy = b, logca = x e logcb = y, substiuímos termos correspondentes:
Multiplicação por constante
Demonstração:
- A partir de:
- Transformamos o último resultado em logaritmo:
- Substituindo os termos correspondentes:
Subtração
Demostração:
- Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
- Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
- Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
- Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
- Portanto:
Mudança de base
- Consideraremos os valores para a demonstração:
- (I)
- (II)
Demonstração:
- Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
- Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
- Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
- Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
- Substituímos com o resultado em (II):
- Sabemos cx em (I):
- Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
Que prova a igualdade da propriedade.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
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