Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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:<math>\log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {c \log_b b}</math> | :<math>\log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {c \log_b b}</math> | ||
*Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (log<sub>b</sub> b), que é igual a 1: | *Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (log<sub>b</sub> b), que é igual a 1: | ||
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*Reescrevendo: | *Reescrevendo: | ||
:<math>\log_{b^c} x = \frac 1 c \times \log_b x</math> | :<math>\log_{b^c} x = \frac 1 c \times \log_b x</math> | ||
*Pela multiplicação por constante: | *Pela multiplicação por constante: | ||
:<math>\log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}</math> | :<math>\log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}</math> | ||
*Observe que em (I), podemos ter um final diferente para esta propriedade, ao multiplicarmos a equação por c: | |||
:<math>c \log_{b^c} x = \log_b x</math> | |||
{{Quadro||pontilhado=sim | {{Quadro||pontilhado=sim |
Edição das 23h33min de 1 de julho de 2015
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^x = 128}
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{2} 128 = 7}
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{a}b = c \iff a^c = b \iff \sqrt [c] {b} = a}
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é necessário para a resolução da equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^3 = 8}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt [3] 8 = 2}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{2}8 = 3}
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log x = \log_{10} x}
Equações envolvendo logaritmos
Existem basicamente três métodos para a resolução de equações com logaritmos:
Desenvolvimento na forma de potência
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Nestes casos, convertemos o logaritmo para uma potência. Por exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 625^x= 0,008}
Que pode ser entendida como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{625}0,008 = x}
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmo como variável
O logaritmo pode também ser entendido como uma função. Por exemplo, se temos uma função x, operamos com os princípios da álgebra, e isto ocorre também com os logaritmos. Exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3x + 5x = 8x}
Na álgebra, para podermos operar termos é necessário que a parte literal de cada monômio seja igual. Com os logaritmos isto ocorre de forma similiar:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \log_2 x + 5 \log_2 x = 8 \log_2 x}
Para podermos operar logaritmos de forma análoga à álgebra, é fundamental que a base e o logaritmando sejam iguais. Veja outro exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 \cdot x = x^3}
Com logaritmos podemos interpretar de maneira semelhante:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{10}^2 x \cdot \log_{10} x = \log_{10}^3 x}
Logaritmo em funções compostas
Além de aparecer em parcelas de uma soma ou em fatores, como visto nos dois últimos exemplos, o logaritmo pode aparecer em qualquer outra função! Pode estar no quociente de uma divisão, no expoente de uma potência, no radicando de uma raíz, ou até mesmo no logaritmando de um outro logaritmo. Em alguns casos, é muito comum recorrermos a alguma substituição para podermos visualizar melhor a equação. Por exemplo:
Exemplo de substituição em função composta |
---|
:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 5^{\log_5 7} = x}
|
Função logaritmica
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:
f (x) | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, nesse exemplo, que quanto menor for f (x), mais próximo de zero será x, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Neste caso, o intervalo do domínio da função é (0, +∞).
Chamamos de raíz da função os valores de x em que f(x) = 0. Isto é, os pontos em que a curva intersepta o eixo das abssissas. No exemplo anterior, isto ocorre quando x = 1.
Vejamos o caso abaixo, de f(x) = (-2)x
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) |
Veja que os valores de f (x) possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.
Estudo de casos
Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos (desenvolveremos na forma de potência) :
- Temos que logx x = y é o mesmo que xy = x. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto logx x = 1.
- Sabemos que logx 1/x = y é igual a xy = 1/x. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, logx 1/x = -1.
- Já que logx 1 = y é o mesmo que xy = 1, devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, logx 1 = 0.
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle }
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos logca = x, e logcb = y. Assim, cx = a, e cy = b.
Soma
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)}
Demonstração:
- Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \cdot b = c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,}
- Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,}
- Como cx = a, cy = b, logca = x e logcb = y, substiuímos termos correspondentes:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,}
Multiplicação por constante
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k}
Demonstração:
- A partir de:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^k = {(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,}
- Transformamos o último resultado em logaritmo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,}
- Substituindo os termos correspondentes:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c a^k = k \cdot \log_c a\,}
Subtração
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c} \frac{a}{b}}
Demostração:
- Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c}a + (-1 \log_{c}b)}
- Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + (-1 \log_{c}b) = \log_{c}a + \log_{c}b^{-1}}
- Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c}b^{-1} = \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b}}
- Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b} = \log_{c}a \cdot \frac {1}{b}}
- Portanto:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{c} \frac {a}{b} = \log_{c}a - \log_{c}b}
Mudança de base
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}}
- Consideraremos os valores para a demonstração:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c a = x \to c^x = a} (I)
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_c b = y \to c^y = b \to c = b^{ \frac {1} {y}}} (II)
Demonstração:
- Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^1 = b \to \log_b b = 1 }
- Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {x} {y} \log_b b = \frac {x} {y} }
- Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b b^{\frac {x} {y}} = \frac {x} {y} }
- Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b (b^{ \frac {1} {y}})^{x} = \frac {x} {y} }
- Substituímos com o resultado em (II):
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b c^x = \frac {x} {y} }
- Sabemos cx em (I):
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b a = \frac {x} {y}}
- Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b a = \frac {\log_c a} {\log_c b}}
Que prova a igualdade da propriedade.
Outras propriedades
As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:
Inversão do logaritmando
Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \log \frac x y \to -A = \log \frac y x}
Demonstração:
- Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -A = -\log \frac x y}
- Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -A = \log \left ( \frac x y \right )^{-1}}
- Que resulta em
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -A = \log \frac y x}
Bases com expoentes
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}}
Demonstração:
- Pela propriedade da mudança de base, temos que:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {\log_b b^c}}
- Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {c \log_b b}}
- Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (logb b), que é igual a 1:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} c} (I)
- Reescrevendo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac 1 c \times \log_b x}
- Pela multiplicação por constante:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}}
- Observe que em (I), podemos ter um final diferente para esta propriedade, ao multiplicarmos a equação por c:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \log_{b^c} x = \log_b x}
Exemplo de aplicação |
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Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo:
A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais:
Aplicando a propriedade da base com expoente:
E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir y:
Simplificando com a multiplicação por constante:
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Troca da base pelo logaritmando
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \log_b x \to \frac 1 A = \log_x b}
Demonstração:
- Pela propriedade da mudança de base, temos que:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b x = \frac {\log_x x} {\log_x b}}
- Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (logxx), que é igual a 1:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b x = \frac {1} {\log_x b}}
- Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {1} {\log_b x} = {\log_x b}}
Cologaritmos
Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = - \log \frac{x}{y}}
Pela propriedade da inversão do logaritmando, podemos reescrevê-los como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = \log \frac {y} {x}}