Matemática elementar/Logaritmos
Definição de Logaritmo
Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de na base é o expoente a que deve ser elevado para que o resultado seja . Em símbolos:
Dizemos que b é a base e a é o logaritmando.
Por exemplo, se , podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências.
É importante definir algumas restrições à base e ao logaritmando:
- A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas.
- A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.
- O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas.
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.
Soma e subtração
Multiplicação por constante
Mudança de base
, para qualquer que seja a base (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
Demonstrações
Sejam:
Então:
Aplicando propriedades da exponenciação:
- Log do produto
Da expressão
concluímos que:
portanto:
- Log da fração
Analogamente, de:
concluímos que:
portanto:
- Log da potência
A partir de:
chegamos a:
ou seja:
- Mudança de base
Da última expressão:
chega-se a:
ou seja:
e, finalmente:
E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom exemplo é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
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