Matemática elementar/Logaritmos
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é necessário para a resolução da equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Por exemplo:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Função logaritmica
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:
f (x) | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, nesse exemplo, que quanto menor for f (x), mais próximo de zero será x, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Neste caso, o intervalo do domínio da função é (0, +∞).
Chamamos de raíz da função os valores de x em que f(x) = 0. Isto é, os pontos em que a curva intersepta o eixo das abssissas. No exemplo anterior, isto ocorre quando x = 1.
Vejamos o caso abaixo, de f(x) = (-2)x
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) |
Veja que os valores de f (x) possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.
Estudo de casos
Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos:
- Temos que logx x = y é o mesmo que xy = x. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto logx x = 1.
- Sabemos que logx 1/x = y é igual a xy = 1/x. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, logx 1/x = -1.
- Já que logx 1 = y é o mesmo que xy = 1, devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, logx 1 = 0.
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos logca = x, e logcb = y. Assim, cx = a, e cy = b.
Soma
Demonstração:
- Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
- Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
- Como cx = a, cy = b, logca = x e logcb = y, substiuímos termos correspondentes:
Multiplicação por constante
Demonstração:
- A partir de:
- Transformamos o último resultado em logaritmo:
- Substituindo os termos correspondentes:
Subtração
Demostração:
- Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
- Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
- Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
- Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
- Portanto:
Mudança de base
- Consideraremos os valores para a demonstração:
- (I)
- (II)
Demonstração:
- Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
- Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
- Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
- Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
- Substituímos com o resultado em (II):
- Sabemos cx em (I):
- Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
Que prova a igualdade da propriedade.
Outras propriedades
As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:
Inversão do logaritmando
Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:
Demonstração:
- Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:
- Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:
- Que resulta em
Bases com expoentes
Demonstração:
- Pela propriedade da mudança de base, temos que:
- Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
- Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (logb b), que é igual a 1:
- Que prova a propriedade. Perceba, ainda, que é possível utilizar a propriedade da multiplicação por constante novamente:
Exemplo de aplicação |
---|
Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo:
A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais: Aplicando a propriedade da base com expoente: E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir y: |
Troca da base pelo logaritmando
Demonstração:
- Pela propriedade da mudança de base, temos que:
- Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (logxx), que é igual a 1:
- Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
Cologaritmos
Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:
Pela propriedade da inversão do logaritmando, podemos reescrevê-los como: