Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
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Uma grande aplicação dos polinômios é o ajuste de curvas. Explico. Alguns fenômenos podem ser expressos por um conjunto de coordenadas (x,y) e deseja-se fazer um modelo matemático deste fenômeno, ou seja, expressá-lo por uma fórmula matemática, onde entrando-se com um valor x, obtem-se o valor y. Existem várias funções que se prestam a isso, mas, quando não se consegue um bom ajuste com essas funções, recorre-se ao ajuste polinomial porque sabe-se que um por n+1 pontos sempre se pode passar um polinômio do grau n. Normalmente não há necessidade de se utilizar um polinômio do grau n, mas sim um de grau bem menor que consegue representar esse conjunto de dados muito bem. Um exemplo clássico de ajuste é quando se deseja projetar uma obra pública, como um sistema de abastecimento de água, para uma população futura de uma cidade. Deve-se, então estimar essa população daqui a 20 ou 50 anos. Baseando-se em dados de anos anteriores, podemos chegar a uma função de crescimento da população, onde y é a população e x é o ano. E esta função de crescimento pode ser um polinômio. No caso extremo de n+1 pontos e o polinômio do grau n, chega-se ao polinômio interpolante, que é uma outra aplicação de polinômios, utilizando-se o critério dos mínimos quadrados. Outra grande aplicação de polinômios é em criptografia. Em Engenharia temos muitos problemas que são resolvidos por polinômios. Em física também, bastando lembrar que no lançamento de um projétil, a trajetória é uma parábola do segundo grau, que é um polinômio do segundo grau (y=a.x^2+b.x+c). E por aí vai. São inúmeras as aplicações de polinômios na vida prática. Pena que as pessoas não se apercebam disso e achem que polinômios só servem para encher a paciência dos alunos. | |||
== Equações polinomiais == | == Equações polinomiais == | ||
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Edição das 19h15min de 11 de setembro de 2012
Definição
Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor numérico
É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.
- Exemplo
2x + 1 VN = ? Para x=5 VN = 2.5 + 1 = 11,
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se:
Polinômio nulo
Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.
Teoremas
Teorema do resto
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)
- Exemplo de resolução 1
Têm-se a seguinte divisão:
- 1º passo: Determina-se x
- 2º passo: Substitui-se os valores
Portanto, o resto é 43.
- Exemplo de resolução 2
O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se,
Aplicações práticas
Uma grande aplicação dos polinômios é o ajuste de curvas. Explico. Alguns fenômenos podem ser expressos por um conjunto de coordenadas (x,y) e deseja-se fazer um modelo matemático deste fenômeno, ou seja, expressá-lo por uma fórmula matemática, onde entrando-se com um valor x, obtem-se o valor y. Existem várias funções que se prestam a isso, mas, quando não se consegue um bom ajuste com essas funções, recorre-se ao ajuste polinomial porque sabe-se que um por n+1 pontos sempre se pode passar um polinômio do grau n. Normalmente não há necessidade de se utilizar um polinômio do grau n, mas sim um de grau bem menor que consegue representar esse conjunto de dados muito bem. Um exemplo clássico de ajuste é quando se deseja projetar uma obra pública, como um sistema de abastecimento de água, para uma população futura de uma cidade. Deve-se, então estimar essa população daqui a 20 ou 50 anos. Baseando-se em dados de anos anteriores, podemos chegar a uma função de crescimento da população, onde y é a população e x é o ano. E esta função de crescimento pode ser um polinômio. No caso extremo de n+1 pontos e o polinômio do grau n, chega-se ao polinômio interpolante, que é uma outra aplicação de polinômios, utilizando-se o critério dos mínimos quadrados. Outra grande aplicação de polinômios é em criptografia. Em Engenharia temos muitos problemas que são resolvidos por polinômios. Em física também, bastando lembrar que no lançamento de um projétil, a trajetória é uma parábola do segundo grau, que é um polinômio do segundo grau (y=a.x^2+b.x+c). E por aí vai. São inúmeras as aplicações de polinômios na vida prática. Pena que as pessoas não se apercebam disso e achem que polinômios só servem para encher a paciência dos alunos.
Equações polinomiais
Definição
Denomina-se equação polinomial ou algébrica toda equação que pode ser escrita na forma anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0x0 = 0, (com an ≠ 0) em que os ai (an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0) são elementos do conjunto dos números complexos, n∈N^* e n é o grau da equação.
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio de uma variável com coeficientes complexos e de grau tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial tem soluções, não necessariamente distintas.
Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.
Multiplicidade de uma raiz
Relações de Girard
Teorema das raízes complexas
Se um polinômio de grau n com coeficientes reais, tem como raiz um número complexo a + bi com b≠0, seu conjugado também é uma raiz do mesmo polinômio.
Fatoração
- Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:
- fatoração simples (ou por evidência)
- fatoração por agrupamento
- trinômios do quadrado perfeito
- e outros
Fatoração simples (ou por evidência)
Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência
- Exemplo
- ax + ay + az = a (x + y + z)
Por agrupamento
Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.
- Exemplo
- ax + by + bx + ay =
- ax + ay + bx + by =
- a (x + y) + b (x + y) =
- (x + y) • (a + b)
Trinômio do quadrado perfeito
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.
- Fatorar a expressão abaixo
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:
- Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
- e
- Multiplicam-se os resultados
- 5 • m = 5m
- Multiplica-se o produto obtido por dois
- 5m • 2 = 10m
Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.
- Sendo trinômio do quadrado perfeito
Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
- (m - 5)²
Esse é o valor fatorado da expressão inicial.
Equação do segundo grau
- Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.
- x² - 8x + 15
a (x - x1) • (x - x2)
Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,
- x1 = 3
- x2 = 5
Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:
- 1 (x - 3) • (x - 5)
- (x - 3) • (x - 5)