Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
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== Definição == | == Definição == | ||
'''Polinômios em uma variável''' são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma <math>a x^{n} | '''Polinômios em uma variável''' são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma <math>a x^{n}</math> (que, no caso de ''n = 0'', torna-se a constante ''a''). Cada monômio é caracterizado por | ||
* um coeficiente, que na equação acima é representado por ''a''; | * um coeficiente, que na equação acima é representado por ''a''; | ||
* uma variável, que na equação é representada por ''x''; e | * uma variável, que na equação é representada por ''x''; e | ||
* um expoente natural, que na equação é representado por ''n''. No caso particular ''n = 0'', considera-se que <math>x^n = 1 | * um expoente natural, que na equação é representado por ''n''. No caso particular ''n = 0'', considera-se que <math>x^n = 1</math> e o termo <math>a x^n</math> torna-se simplesmente ''a''. | ||
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é ''função polinomial'', mas o uso de ''polinômio'' é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: | Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é ''função polinomial'', mas o uso de ''polinômio'' é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: | ||
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É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis. | É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis. | ||
'''Exemplo''' | |||
2x + 1 VN = ? Para ''x=5'' | 2x + 1 VN = ? Para ''x=5'' | ||
VN = 2.< | VN = 2.<span style="color:red;">5</span> + 1 = 11, | ||
== Raízes == | == Raízes == | ||
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=== Obtenção de raízes === | === Obtenção de raízes === | ||
== Identidade de polinômios == | == Identidade de polinômios == | ||
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo: | Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo: | ||
: <math>A(x) = 3 x^{2} + 3 | : <math>A(x) = 3 x^{2} + 3:</math> <math>B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3</math> | ||
Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x).</math> | Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x).</math> | ||
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== Igualdade de polinômios == | == Igualdade de polinômios == | ||
Diz-se que os polinômios <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> e <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> são iguais quando <math>a_i = b_i,</math> para todo <math>i.</math> | |||
== Operações == | == Operações == | ||
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Consideremos que tenhamos os fatores: | Consideremos que tenhamos os fatores: | ||
<math>{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} | <math>{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A}</math> e | ||
<math>{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B} | <math>{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B}</math> | ||
Todos constantes e com valores diferentes de zero. | Todos constantes e com valores diferentes de zero. | ||
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Ainda temos: | Ainda temos: | ||
<math>{x,y} | <math>{x,y}</math> | ||
que são variáveis. | que são variáveis. | ||
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Os polinômios: | Os polinômios: | ||
<math>A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A | <math>A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A</math> | ||
e | e | ||
<math>B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B | <math>B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B</math> | ||
A sua adição é efetuada como segue: | A sua adição é efetuada como segue: | ||
<math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B) | <math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B)</math> | ||
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Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: | Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: | ||
<math>A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A | <math>A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A</math> | ||
e | e | ||
<math>B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B | <math>B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B</math> | ||
A sua adição é efetuada como segue: | A sua adição é efetuada como segue: | ||
<math>S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B) | <math>S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B)</math> | ||
Linha 108: | Linha 105: | ||
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2) | (15x² - 10x + 2) • (3x - 2) | ||
Nesse caso, multiplica-se todos os termos | Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere: | ||
: (15x² - 10x + 2) = A | : (15x² - 10x + 2) = A | ||
: (3x - 2) = B | : (3x - 2) = B | ||
Linha 146: | Linha 139: | ||
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a) | O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a) | ||
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;Exemplo de resolução 1 | ;Exemplo de resolução 1 | ||
: Têm-se a seguinte divisão: | |||
Têm-se a seguinte divisão: | :: <math>\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2}</math> | ||
:: <math>\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2} | :* '''1º passo:''' Determina-se ''x'' | ||
* '''1º passo:''' Determina-se ''x'' | : <math>x - 2 = 0:</math> <math>x = 2</math> | ||
: <math>x - 2 = 0 | :* '''2º passo:''' Substitui-se os valores | ||
* '''2º passo:''' Substitui-se os valores | : <math>3x^4 - x^2 + 2x - 5:</math> <math>3.2^4 - 2^2 + 2.2 - 5:</math> <math>3.16 - 4 + 4 - 5:</math> <math>48 - 5:</math> <math>43</math> | ||
: <math>3x^4 - x^2 + 2x - 5 | |||
Portanto, o resto é '''43'''. | Portanto, o resto é '''43'''. | ||
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;Exemplo de resolução 2 | ;Exemplo de resolução 2 | ||
O resto da divisão do polinômio <math>A(x) | :O resto da divisão do polinômio <math>A(x)</math> pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b</math> é <math>A (-b/a).</math> | ||
pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b | |||
{{Aviso|Note que <math>A (-b/a) | {{Aviso|Note que <math>A (-b/a)</math> é a raiz do divisor <math>B(x) = a x + b</math>}} | ||
=== Teorema de D'Alembert === | === Teorema de D'Alembert === | ||
Um polinômio <math>A(x) | Um polinômio <math>A(x)</math> é divisível pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b</math> se e somente se, <math>A (-b/a) = 0.</math> | ||
== Aplicações práticas == | == Aplicações práticas == | ||
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=== Teorema das raízes complexas === | === Teorema das raízes complexas === | ||
== Fatoração == | == Fatoração == | ||
: < | : <span style="color:gray;">'''Lembre-se:''' ''Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.''</span> | ||
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples: | Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples: | ||
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;Exemplo | ;Exemplo | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:red;">a</span>y + <span style="color:red;">a</span>z = <span style="color:red;">a</span> (x + y + z) | ||
=== Por agrupamento === | === Por agrupamento === | ||
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;Exemplo | ;Exemplo | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:blue;">b</span>y + <span style="color:blue;">b</span>x + <span style="color:red;">a</span>y = | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:red;">a</span>y + <span style="color:blue;">b</span>x + <span style="color:blue;">b</span>y = | ||
: a (< | : a (<span style="color:green;">x + y</span>) + b (<span style="color:green;">x + y</span>) = | ||
: (x + y) • (a + b) | : (x + y) • (a + b) | ||
=== Trinômio do quadrado perfeito === | === Trinômio do quadrado perfeito === | ||
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo. | Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo. | ||
;Fatorar a expressão <math>m^2 - 10m + 25</math> | |||
;Fatorar a expressão | |||
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito: | Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito: | ||
* Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito, | * Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito, | ||
*:<math>\sqrt[]{m^2} = m</math> e <math>\sqrt[]{25} = 5</math> | |||
* Multiplicam-se os resultados | * Multiplicam-se os resultados | ||
*: 5 • m = 5m | |||
* Multiplica-se o produto obtido por dois | * Multiplica-se o produto obtido por dois | ||
*: 5m • 2 = 10m | |||
Note que '''10m''' é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito. | Note que '''10m''' é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito. | ||
;Sendo trinômio do quadrado perfeito | ;Sendo trinômio do quadrado perfeito | ||
Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula <math>(a \pm b)^2 </math> substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''mais'' (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''menos'' (-). Com efeito, | :Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula <math>(a \pm b)^2 </math> substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''mais'' (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''menos'' (-). Com efeito, | ||
:: <big>(m - 5)²</big> | :: <big>(m - 5)²</big> | ||
Linha 226: | Linha 212: | ||
=== Equação do segundo grau === | === Equação do segundo grau === | ||
: < | : <span style="color:gray;">'''Lembre-se:''' ''Da fórmula ax² + bx + c .''</span> | ||
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima. | A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima. |
Edição das 10h44min de 20 de novembro de 2013
Definição
Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor numérico
É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.
Exemplo
2x + 1 VN = ? Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se:
Polinômio nulo
Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.
Igualdade de polinômios
Diz-se que os polinômios e são iguais quando para todo
Operações
Adição
Consideremos que tenhamos os fatores:
e
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
que são variáveis.
Os polinômios:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Processo:
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Subtração
O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.
(3x²-2x+5)-(5x-3)=
=3x²-2x+5-5x+3= =3x²-7x+8
Multiplicação
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)
Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:
- (15x² - 10x + 2) = A
- (3x - 2) = B
donde,
- A • B (ou B • A)
A •B --- x
donde,
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2) ----------------- - 30x² + 20x - 4 45x³ - 30x² + 6x + --------------------- 45x³ - 60x² + 26x -4
Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.
Divisão
Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:
- Método de Descartes
- Método do Resto
- Método de D'Alembert
- Método de Briot-Ruffini
Teoremas
Teorema do resto
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)
- Exemplo de resolução 1
- Têm-se a seguinte divisão:
- 1º passo: Determina-se x
-
- 2º passo: Substitui-se os valores
Portanto, o resto é 43.
- Exemplo de resolução 2
- O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se,
Aplicações práticas
Equações polinomiais
Definição
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio de uma variável com coeficientes complexos e de grau tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial tem soluções, não necessariamente distintas.
Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.
Multiplicidade de uma raiz
Relações de Girard
Teorema das raízes complexas
Fatoração
- Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:
- fatoração simples (ou por evidência)
- fatoração por agrupamento
- trinômios do quadrado perfeito
- e outros
Fatoração simples (ou por evidência)
Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência
- Exemplo
- ax + ay + az = a (x + y + z)
Por agrupamento
Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.
- Exemplo
- ax + by + bx + ay =
- ax + ay + bx + by =
- a (x + y) + b (x + y) =
- (x + y) • (a + b)
Trinômio do quadrado perfeito
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.
- Fatorar a expressão
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:
- Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
- e
- Multiplicam-se os resultados
- 5 • m = 5m
- Multiplica-se o produto obtido por dois
- 5m • 2 = 10m
Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.
- Sendo trinômio do quadrado perfeito
- Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
- (m - 5)²
Esse é o valor fatorado da expressão inicial.
Equação do segundo grau
- Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.
- x² - 8x + 15
a (x - x1) • (x - x2)
Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,
- x1 = 3
- x2 = 5
Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:
- 1 (x - 3) • (x - 5)
- (x - 3) • (x - 5)