Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
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== Definição == | == Definição == | ||
'''Polinômios em uma variável''' são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma <math>a x^{n} | '''Polinômios em uma variável''' são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma <math>a x^{n}</math> (que, no caso de ''n = 0'', torna-se a constante ''a''). Cada monômio é caracterizado por: | ||
* um coeficiente, que na equação acima é representado por ''a''; | * um coeficiente, que na equação acima é representado por ''a''; | ||
* uma variável, que na equação é representada por ''x''; e | * uma variável, que na equação é representada por ''x''; e | ||
* um expoente natural, que na equação é representado por ''n''. No caso particular ''n = 0'', considera-se que <math>x^n = 1 | * um expoente natural, que na equação é representado por ''n''. No caso particular ''n = 0'', considera-se que <math>x^n = 1</math> e o termo <math>a x^n</math> torna-se simplesmente ''a''. | ||
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é ''função polinomial'', mas o uso de ''polinômio'' é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: | Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é ''função polinomial'', mas o uso de ''polinômio'' é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: | ||
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É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis. | É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis. | ||
'''Exemplo''' | |||
2x + 1 VN = ? Para ''x=5'' | 2x + 1 VN = ? Para ''x=5'' | ||
VN = 2.< | VN = 2.<span style="color:red;">5</span> + 1 = 11, | ||
== Raízes == | == Raízes == | ||
[[Imagem:polinomios raizes.png|thumb|right|200px|No gráfico acima, as raízes r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.]] | [[Imagem:polinomios raizes.png|thumb|right|200px|No gráfico acima, as raízes r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.]] | ||
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0 | Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0, ou seja, se ''a'' é dito raiz do polinômio ''P(x)'', então <math>P(a) = 0.</math> | ||
Exemplos de raízes: | Exemplos de raízes: | ||
Linha 35: | Linha 35: | ||
=== Obtenção de raízes === | === Obtenção de raízes === | ||
== Identidade de polinômios == | == Identidade de polinômios == | ||
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo: | Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo: | ||
: <math>A(x) = 3 x^{2} + 3 | : <math>A(x) = 3 x^{2} + 3:</math> <math>B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3</math> | ||
Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x).</math> | Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x).</math> | ||
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== Igualdade de polinômios == | == Igualdade de polinômios == | ||
Diz-se que os polinômios <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> e <math>b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0</math> são iguais quando <math>a_i = b_i,</math> para todo <math>i.</math> | |||
== Operações == | == Operações == | ||
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Consideremos que tenhamos os fatores: | Consideremos que tenhamos os fatores: | ||
<math>{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} | <math>{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A}</math> e | ||
<math>{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B} | <math>{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B}</math> | ||
Todos constantes e com valores diferentes de zero. | Todos constantes e com valores diferentes de zero. | ||
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Ainda temos: | Ainda temos: | ||
<math>{x,y} | <math>{x,y}</math> | ||
que são variáveis. | que são variáveis. | ||
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Os polinômios: | Os polinômios: | ||
<math>A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A | <math>A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A</math> | ||
e | e | ||
<math>B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B | <math>B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B</math> | ||
A sua adição é efetuada como segue: | A sua adição é efetuada como segue: | ||
<math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B) | <math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B)</math> | ||
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Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: | Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: | ||
<math>A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A | <math>A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A</math> | ||
e | e | ||
<math>B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B | <math>B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B</math> | ||
A sua adição é efetuada como segue: | A sua adição é efetuada como segue: | ||
<math>S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B) | <math>S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B)</math> | ||
Linha 108: | Linha 105: | ||
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2) | (15x² - 10x + 2) • (3x - 2) | ||
Nesse caso, multiplica-se todos os termos | Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere: | ||
: (15x² - 10x + 2) = A | : (15x² - 10x + 2) = A | ||
: (3x - 2) = B | : (3x - 2) = B | ||
Linha 146: | Linha 139: | ||
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a) | O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a) | ||
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;Exemplo de resolução 1 | ;Exemplo de resolução 1 | ||
: Têm-se a seguinte divisão: | |||
Têm-se a seguinte divisão: | :: <math>\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2}</math> | ||
:: <math>\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2} | :* '''1º passo:''' Determina-se ''x'' | ||
* '''1º passo:''' Determina-se ''x'' | : <math>x - 2 = 0:</math> <math>x = 2</math> | ||
: <math>x - 2 = 0 | :* '''2º passo:''' Substitui-se os valores | ||
* '''2º passo:''' Substitui-se os valores | : <math>3x^4 - x^2 + 2x - 5:</math> <math>3.2^4 - 2^2 + 2.2 - 5:</math> <math>3.16 - 4 + 4 - 5:</math> <math>48 - 5:</math> <math>43</math> | ||
: <math>3x^4 - x^2 + 2x - 5 | |||
Portanto, o resto é '''43'''. | Portanto, o resto é '''43'''. | ||
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;Exemplo de resolução 2 | ;Exemplo de resolução 2 | ||
O resto da divisão do polinômio <math>A(x) | :O resto da divisão do polinômio <math>A(x)</math> pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b</math> é <math>A (-b/a).</math> | ||
pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b | |||
{{Aviso|Note que <math>A (-b/a) | {{Aviso|Note que <math>A (-b/a)</math> é a raiz do divisor <math>B(x) = a x + b</math>}} | ||
=== Teorema de D'Alembert === | === Teorema de D'Alembert === | ||
Um polinômio <math>A(x) | Um polinômio <math>A(x)</math> é divisível pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b</math> se e somente se, <math>A (-b/a) = 0.</math> | ||
== Aplicações práticas == | == Aplicações práticas == | ||
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=== Teorema das raízes complexas === | === Teorema das raízes complexas === | ||
== Fatoração == | == Fatoração == | ||
: < | : <span style="color:gray;">'''Lembre-se:''' ''Fatorar é simplificar uma expressão a um produto.''</span> | ||
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples: | Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples: | ||
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;Exemplo | ;Exemplo | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:red;">a</span>y + <span style="color:red;">a</span>z = <span style="color:red;">a</span> (x + y + z) | ||
=== Por agrupamento === | === Por agrupamento === | ||
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;Exemplo | ;Exemplo | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:blue;">b</span>y + <span style="color:blue;">b</span>x + <span style="color:red;">a</span>y = | ||
: < | : <span style="color:red;">a</span>x + <span style="color:red;">a</span>y + <span style="color:blue;">b</span>x + <span style="color:blue;">b</span>y = | ||
: a (< | : a (<span style="color:green;">x + y</span>) + b (<span style="color:green;">x + y</span>) = | ||
: (x + y) • (a + b) | : (x + y) • (a + b) | ||
=== Trinômio do quadrado perfeito === | === Trinômio do quadrado perfeito === | ||
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo. | Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo. | ||
;Fatorar a expressão <math>m^2 - 10m + 25</math> | |||
;Fatorar a expressão | |||
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito: | Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito: | ||
* Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito, | * Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito, | ||
*:<math>\sqrt[]{m^2} = m</math> e <math>\sqrt[]{25} = 5</math> | |||
* Multiplicam-se os resultados | * Multiplicam-se os resultados | ||
*: 5 • m = 5m | |||
* Multiplica-se o produto obtido por dois | * Multiplica-se o produto obtido por dois | ||
*: 5m • 2 = 10m | |||
Note que '''10m''' é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito. | Note que '''10m''' é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito. | ||
;Sendo trinômio do quadrado perfeito | ;Sendo trinômio do quadrado perfeito | ||
Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula <math>(a \pm b)^2 </math> substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''mais'' (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''menos'' (-). Com efeito, | :Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula <math>(a \pm b)^2 </math> substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''mais'' (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de ''menos'' (-). Com efeito, | ||
:: <big>(m - 5)²</big> | :: <big>(m - 5)²</big> | ||
Linha 226: | Linha 212: | ||
=== Equação do segundo grau === | === Equação do segundo grau === | ||
: < | : <span style="color:gray;">'''Lembre-se:''' ''Da fórmula ax² + bx + c .''</span> | ||
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima. | A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima. |
Edição atual tal como às 13h53min de 7 de maio de 2019
Definição
Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por:
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor numérico
É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.
Exemplo
2x + 1 VN = ? Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0, ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se:
Polinômio nulo
Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.
Igualdade de polinômios
Diz-se que os polinômios e são iguais quando para todo
Operações
Adição
Consideremos que tenhamos os fatores:
e
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
que são variáveis.
Os polinômios:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Processo:
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Subtração
O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.
(3x²-2x+5)-(5x-3)=
=3x²-2x+5-5x+3= =3x²-7x+8
Multiplicação
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)
Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:
- (15x² - 10x + 2) = A
- (3x - 2) = B
donde,
- A • B (ou B • A)
A •B --- x
donde,
(15x² - 10x + 2) • (3x - 2) ----------------- - 30x² + 20x - 4 45x³ - 30x² + 6x + --------------------- 45x³ - 60x² + 26x -4
Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.
Divisão
Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:
- Método de Descartes
- Método do Resto
- Método de D'Alembert
- Método de Briot-Ruffini
Teoremas
Teorema do resto
O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)
- Exemplo de resolução 1
- Têm-se a seguinte divisão:
- 1º passo: Determina-se x
-
- 2º passo: Substitui-se os valores
Portanto, o resto é 43.
- Exemplo de resolução 2
- O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se,
Aplicações práticas
Equações polinomiais
Definição
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio de uma variável com coeficientes complexos e de grau tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial tem soluções, não necessariamente distintas.
Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.
Multiplicidade de uma raiz
Relações de Girard
Teorema das raízes complexas
Fatoração
- Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão a um produto.
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:
- fatoração simples (ou por evidência)
- fatoração por agrupamento
- trinômios do quadrado perfeito
- e outros
Fatoração simples (ou por evidência)
Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência
- Exemplo
- ax + ay + az = a (x + y + z)
Por agrupamento
Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.
- Exemplo
- ax + by + bx + ay =
- ax + ay + bx + by =
- a (x + y) + b (x + y) =
- (x + y) • (a + b)
Trinômio do quadrado perfeito
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.
- Fatorar a expressão
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:
- Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
- e
- Multiplicam-se os resultados
- 5 • m = 5m
- Multiplica-se o produto obtido por dois
- 5m • 2 = 10m
Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.
- Sendo trinômio do quadrado perfeito
- Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
- (m - 5)²
Esse é o valor fatorado da expressão inicial.
Equação do segundo grau
- Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .
A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.
- x² - 8x + 15
a (x - x1) • (x - x2)
Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,
- x1 = 3
- x2 = 5
Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:
- 1 (x - 3) • (x - 5)
- (x - 3) • (x - 5)