Matemática elementar/Polinômios
Definição
Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma a x^{n}\,(que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por * um coeficiente, que na equação acima é representado por a; * uma variável, que na equação é representada por x; e * um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que x^n = 1\, e o termo a x^n\,torna-se simplesmente a. Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma: : P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_{1}x + a_{0}
A função constante, P(x) = c, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear P(x) = ax + b.
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio 2 + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios (x^{3}). == Valor numérico == É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis. ;Exemplo
2x + 1 VN = ? Para x=5 VN = 2.5 + 1 = 11,
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então P(a) = 0.
Exemplos de raízes:
- P(x) = 3 * x - 12 tem raiz r = 4 (pois P(4) = 3 * 4 - 12 = 0)
- P(x) = x^{100} + x^{99} + x^{98} + ... + x^{2} + x^{1} tem raiz r igual a -1, pois P(-1) = 0.
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- P(x) = x^{2} - 4 x + 4 tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em P(x) = (x - 2) (x - 2).
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas. === Obtenção de raízes === == Identidade de polinômios == Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
- A(x) = 3 x^{2} + 3\,\!: B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: A(x) \equiv B(x).== Polinômio nulo == Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0. == Igualdade de polinômios == é quando dois polinômios assumem o mesmo valor numérico
ex:
2x + 5 = x - 3 para x = -8
Operações
Adição
Consideremos que tenhamos os fatores:
{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} \,\! e
{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B} \,\!
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
{x,y} \,\!que são variáveis. Os polinômios: A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A \,\!
e
B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B \,\!
A sua adição é efetuada como segue:
S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B) \,\!
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A \,\!
e
B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B \,\!
A sua adição é efetuada como segue:
S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B) \,\!Processo: Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores. Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores. === Subtração === O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele. (3x²-2x+5)-(5x-3)= =3x²-2x+5-5x+3= =3x²-7x+8 === Multiplicação === (15x² - 10x + 2) • (3x - 2) Nesse caso, multiplica-se todos os termos. ;ou Considere: : (15x² - 10x + 2) = A : (3x - 2) = B donde, : A • B (ou B • A) A •B --- x donde, (15x² - 10x + 2) • (3x - 2) ----------------- - 30x² + 20x - 4 45x³ - 30x² + 6x + --------------------- 45x³ - 60x² + 26x -4 Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4. === Divisão === Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:
- Método de Descartes
- Método do Resto
- Método de D'Alembert
- Método de Briot-Ruffini
Teoremas
=== Teorema do resto === O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a) ---- ;Exemplo de resolução 1 Têm-se a seguinte divisão: :: \frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2}\,\!
- 1º passo: Determina-se x
- x - 2 = 0\,\!: x = 2\,\!
- 2º passo: Substitui-se os valores
- 3x^4 - x^2 + 2x - 5\,\!: 3.2^4 - 2^2 + 2.2 - 5\,\!: 3.16 - 4 + 4 - 5\,\!: 48 - 5\,\!: 43
Portanto, o resto é 43.
- Exemplo de resolução 2 O resto da divisão do polinômio A(x) \,\!
pelo polinômio de primeiro grau B(x) = a x + b\,\! é A (-b/a)\,\!.
Teorema de D'Alembert
Um polinômio A(x) \,\! é divisível pelo polinômio de primeiro grau B(x) = a x + b\,\! se e somente se, A (-b/a) = 0\,\!.
Aplicações práticas
Equações polinomiais
Definição
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio P(x)de uma variável com coeficientes complexos e de grau n \ge 1 tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial P(x) = 0 tem n soluções, não necessariamente distintas.
Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação. === Multiplicidade de uma raiz === === Relações de Girard === === Teorema das raízes complexas ===
Fatoração
- Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.
Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:
- fatoração simples (ou por evidência)
- fatoração por agrupamento
- trinômios do quadrado perfeito
- e outros
Fatoração simples (ou por evidência)
Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência
- Exemplo
- ax + ay + az = a (x + y + z)
Por agrupamento
Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.
- Exemplo
- ax + by + bx + ay =
- ax + ay + bx + by =
- a (x + y) + b (x + y) =
- (x + y) • (a + b)
Trinômio do quadrado perfeito
Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo. ;Fatorar a expressão abaixo :: m^2 - 10m + 25\,\!
Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:
- Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
- \sqrt[]{m^2} = m e \sqrt[]{25} = 5* Multiplicam-se os resultados :: 5 • m = 5m * Multiplica-se o produto obtido por dois :: 5m • 2 = 10m Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito. ;Sendo trinômio do quadrado perfeito Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula (a \pm b)^2 substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito, :: (m - 5)²Esse é o valor fatorado da expressão inicial. === Equação do segundo grau === : Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima. :: x² - 8x + 15
Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,
- x1 = 3
- x2 = 5
Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:
- 1 (x - 3) • (x - 5)
- (x - 3) • (x - 5)