Análise real/Números racionais

Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+)

O conjunto dos inteiros $\mathbb {Z}$ e a operação de adição $+\$ formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos $\mathbb {Z} ,$ nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.

Números Racionais

A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de quocientes ou divisão, e dá-nos os números racionais(ou apenas racionais) $\mathbb {Q} ,$ Que inclui o inverso multiplicativo de $\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ da forma ${\frac {1}{z}}$ frações como a ${\frac {1}{2}},$ bem como produtos dos dois conjuntos a partir de ${\frac {z_{1}}{z_{2}}},$ como ${\frac {64}{7}},{\frac {17}{16\times 10^{5}}}.$ Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para medição.

Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados (a, b) de inteiros, com b ≠ 0, tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escritos ${\tfrac {a}{b}}.$ Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (a, b) . (c, d) = (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.

Esta construção dos racionais a partir dos inteiros é denominada construção do corpo de frações de um anel; nem todos anéis podem ter um corpo de frações, mas uma classe especial de anéis, os domínios de integridade, podem. Entre os domínios de integridade estão os inteiros e o anel dos polinômios com coeficientes em um corpo ou domínio de integridade.

Ver também

• Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais - texto mais elementar
• Álgebra Abstrata
• Corpos
• Corpo Ordenado