Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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==Séries numéricas infinitas== | ==Séries numéricas infinitas== | ||
''' | Uma '''série infinita''' é uma expressão definida pelos termos de uma sequência infinita. Se tivermos uma sequência <math>a_n</math> definimos a série <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> como a soma de <math>a_1+a_2+a_3+...a_n+...</math>. | ||
<math>\ | ==Somas parciais== | ||
Dada uma série <math>\sum a_n</math>, se a sequência de somas parciais <math>S_n</math>, for convergente, ou seja, seu <math>\lim_{n \to \infty}S_n=L</math>, sendo L um número pertencente aos reais, então temos que <math>\sum a_n</math> é convergente. Caso contrário, <math>\sum a_n</math> é divergente. | |||
= | Exemplo: <math>\sum_{n=1}^{\infty} n</math>. Considerando a sequência de n como a sequência dos números inteiros positivos, sabemos que a série se constitui por 1+2+3+4+...+n+... À partir deste ponto consideramos que : | ||
<math>S_1=1</math> | |||
== | <math>S_2=1+2=3</math>(soma dos dois primeiros termos) | ||
<math>S_3=1+2+3=6</math> (soma dos três primeiros termos) | |||
<math>S_4=1+2+3+4=10 </math>(soma dos quatro primeiros termos) e assim sucessivamente. | |||
Observamos que <math>S_n \to \infty</math> quanto mais <math>n \to \infty</math>. Como a série não converge para nenhum número real consideramos que a série é ''divergente''. | |||
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=== | ==Série geométrica== | ||
A '''série geométrica''' é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica: | |||
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots</math> | |||
Esta série é convergente se e somente se <math>|r|<1</math> e, neste caso, a soma vale: | |||
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}</math> | |||
=== | === Convergência === | ||
Da teoria das progressões geométricas, temos que: | |||
:<math>\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}</math> | |||
É facil ver que se <math>|r|<1</math> então esta série é convergente e sua soma é dada por: | |||
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}</math> | |||
Por outro lado, se <math>|r|\ge 1</math>, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral. | |||
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Edição das 20h26min de 3 de janeiro de 2009
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Séries numéricas infinitas
Uma série infinita é uma expressão definida pelos termos de uma sequência infinita. Se tivermos uma sequência definimos a série como a soma de .
Somas parciais
Dada uma série , se a sequência de somas parciais , for convergente, ou seja, seu , sendo L um número pertencente aos reais, então temos que é convergente. Caso contrário, é divergente.
Exemplo: . Considerando a sequência de n como a sequência dos números inteiros positivos, sabemos que a série se constitui por 1+2+3+4+...+n+... À partir deste ponto consideramos que :
(soma dos dois primeiros termos)
(soma dos três primeiros termos)
(soma dos quatro primeiros termos) e assim sucessivamente.
Observamos que quanto mais . Como a série não converge para nenhum número real consideramos que a série é divergente.
Série geométrica
A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
Esta série é convergente se e somente se e, neste caso, a soma vale:
Convergência
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:
Por outro lado, se , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.