Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais: mudanças entre as edições
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* '''contínua''': fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais <math> (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)</math> da seguinte maneira <math>a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.</math> Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional. | * '''contínua''': fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais <math> (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)</math> da seguinte maneira <math>a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.</math> Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional. | ||
== Operações == | |||
=== Multiplicação === | |||
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.: | |||
: <math>{3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}</math> | |||
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.: | |||
: <math>3 \times {1 \over 4} = {3 \over 1} \times {1 \over 4} = {3 \over 4}</math> | |||
É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível: | |||
: <math>{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {9 \over 6} = {\not{9}^3 \over \not{6}^2} = {3 \over 2}\,</math> | |||
Costuma ser mais prático simplificar ''antes'' de efetuar a multiplicação: | |||
: <math>{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {1 \over \not{3}^1} \times {\not{9}^3 \over 2} = {3 \over 2}\,</math> | |||
=== Divisão === | |||
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações: | |||
: <math>\frac{3}{5}</math> '''÷''' <math>\frac{7}{2}</math> | |||
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação: | |||
: <math>{\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}</math> | |||
Que se resolve como mostrado acima. | |||
=== Adição === | |||
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores: | |||
: <math>{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}</math> | |||
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que: | |||
: <math>{15 \over {3}} = {5} </math> '''∴''' <math>5 \times {2} = {10}:</math> <math>{15 \over {5}} = {3} </math> '''∴''' <math>3 \times {3} = {9}</math> | |||
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores: | |||
: <math>{\frac{10+9}{15}}</math> | |||
O denominador comum é mantido: | |||
: <math>{\frac{19}{15}}</math> | |||
=== Subtração === | |||
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição. | |||
=== Exponenciação === | |||
É indiferente resolver primeiro a [[Matemática elementar/Exponenciais|exponenciação]] ou a divisão: | |||
: <math>{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25</math> | |||
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado: | |||
: <math>{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25</math> | |||
=== Radiciação === | |||
A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação. | |||
=== Expoente fracionário === | |||
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação: | |||
: <math>8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{9}^2 = \sqrt[3]{64} = {4}</math> | |||
=== Simplificação de frações === | |||
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.: | |||
: <math>\frac{8}{4}</math> | |||
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível: | |||
: <math>{{\frac{8:4}{4:4}}} = {{2} \over {1}}</math> | |||
=== Comparação entre frações === | |||
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição. | |||
: <math>\frac{2}{5}</math> <big>'''?'''</big> <math>\frac{3}{7}</math> | |||
O MMC entre 5 e 7 é 35. | |||
: <math>{35 \over {5}} = {7} </math> '''∴''' <math>7 \times {2} = {14}:</math> <math>{35 \over {7}} = {5} </math> '''∴''' <math>5 \times {3} = {15}</math> | |||
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações: | |||
: <math>{\frac{14}{35}} </math> <big><</big> <math>{\frac{15}{35}} </math> ∴ <math>{\frac{2}{5}} </math> <big><</big> <math>{\frac{3}{7}} </math> | |||
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois: | |||
: <math>\frac{14}{35} = \frac{2}{5} </math> e <math>\frac{15}{35} = \frac{3}{7} </math> | |||
=== Conversão entre frações impróprias e mistas === | |||
Uma fração do [[Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos|tipo]] imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa. | |||
: <math>\frac{7}{3}</math> | |||
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação: | |||
: <math>2 \frac{1}{3}</math> | |||
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima. | |||
== Ver também == | == Ver também == |
Edição das 20h13min de 12 de junho de 2010
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Definições
De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.
Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =
Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por
- = { / = com e }
cocococo ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ camisinhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=============================================================================sexoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Tipos de frações
- própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
- imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
- mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:
- aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
- equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
- irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
- unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
- egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
- decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:
- composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
- contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.
Operações
Multiplicação
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:
É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:
Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:
Divisão
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:
- ÷
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:
Que se resolve como mostrado acima.
Adição
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:
- ∴ ∴
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
O denominador comum é mantido:
Subtração
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.
Exponenciação
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
Radiciação
A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.
Expoente fracionário
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:
Simplificação de frações
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
Comparação entre frações
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
- ?
O MMC entre 5 e 7 é 35.
- ∴ ∴
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
- < ∴ <
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:
- e
Conversão entre frações impróprias e mistas
Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.
Ver também
Wikilivros
- Análise real/Números racionais - texto mais avançado