Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas
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Séries numéricas infinitas
Uma série infinita é uma expressão definida pelos termos de uma sequência infinita. Se tivermos uma sequência definimos a série como a soma de .
Somas parciais
Dada uma série , se a sequência de somas parciais , for convergente, ou seja, seu , sendo L um número pertencente aos reais, então temos que é convergente. Caso contrário, é divergente.
Exemplo: . Considerando a sequência de n como a sequência dos números inteiros positivos, sabemos que a série se constitui por 1+2+3+4+...+n+... À partir deste ponto consideramos que :
(soma dos dois primeiros termos)
(soma dos três primeiros termos)
(soma dos quatro primeiros termos) e assim sucessivamente.
Observamos que quanto mais . Como a série não converge para nenhum número real consideramos que a série é divergente.
Série geométrica
A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
Esta série é convergente se e somente se e, neste caso, a soma vale:
Convergência
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:
Por outro lado, se , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.