Matemática elementar/Conjuntos: mudanças entre as edições
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Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos: | Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos: | ||
::<math>Z_{100} = \{ 0, 1, 2, ..., 99 \} | ::<math>Z_{100} = \{ 0, 1, 2, ..., 99 \}</math> | ||
::<math>N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}</math> | ::<math>N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}</math> | ||
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===Conjunto vazio=== | ===Conjunto vazio=== | ||
Todo conjunto também possui como subconjunto '''o conjunto vazio''' representado por <math>\{\} | Todo conjunto também possui como subconjunto '''o conjunto vazio''' representado por <math>\{\}</math>, <math>\empty</math>, <math>\varnothing</math> ou <math>\phi</math>.<ref>Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.</ref> Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos. | ||
===Subconjuntos=== | ===Subconjuntos=== | ||
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Se A = {a,b} → P(A) = {<math>\varnothing</math>,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4 | Se A = {a,b} → P(A) = {<math>\varnothing</math>,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4 | ||
Se A = {a,b,c} → P(A) = {<math>\varnothing</math>,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8 | Se A = {a,b,c} → P(A) = {<math>\varnothing</math>,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8 | ||
... | ... | ||
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n(P(A)) = <math>{n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n} + 1 = \sum_{k=1}^{n} {n! \over (n-k)!k!} +1</math> | n(P(A)) = <math>{n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n} + 1 = \sum_{k=1}^{n} {n! \over (n-k)!k!} +1</math> | ||
Pelo | Pelo {{w|triângulo de pascal}}, com a soma das linhas: | ||
<math>C^0_n\,\! + C^1_n\,\! + C^2_n\,\! + C^3_n\,\! + ... + C^n_n\,\! = \sum_{k=0}^{n} {n! \over (n-k)!k!} = 2^n</math> | <math>C^0_n\,\! + C^1_n\,\! + C^2_n\,\! + C^3_n\,\! + ... + C^n_n\,\! = \sum_{k=0}^{n} {n! \over (n-k)!k!} = 2^n</math> | ||
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==Relações entre conjuntos== | ==Relações entre conjuntos== | ||
===Relação de inclusão=== | ===Relação de inclusão=== | ||
Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão. | |||
'''Exemplo:''' Se considerarmos o conjunto <math>A</math> formado por todas as ''letras do alfabeto'' e o conjunto <math>V</math> formado pelas ''vogais'', podemos dizer que <math>A \supset V</math> (A contém V) ou <math>V \subset A</math> (V está contido em A) | |||
===Relação de pertinência=== | ===Relação de pertinência=== | ||
Se <math>\,\! a</math> é um elemento de <math>A | Se <math>\,\! a</math> é um elemento de <math>A</math>, nós podemos dizer que o elemento <math>a</math> pertence ao conjunto <math>A</math> e podemos escrever <math>a \in A</math>. Se <math>a</math> '''não''' é um elemento de <math>A</math>, nós podemos dizer que o elemento <math>a</math> '''não''' pertence ao conjunto <math>A</math> e podemos escrever <math>a \not\in A</math>. | ||
Exemplos: | Exemplos: | ||
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==== Subconjuntos próprios e impróprios ==== | ==== Subconjuntos próprios e impróprios ==== | ||
Se <math>A | Se <math>A</math> e <math>B</math> são conjuntos e todo o elemento <math>x</math> pertencente a <math>A</math> também pertence a <math>B</math>, então o conjunto <math>A</math> é dito um [[#Subconjuntos|subconjunto]] do conjunto <math>B</math>, denotado por <math>A \subseteq B</math>. Note que esta definição inclui o caso em que <math>A</math> e <math>B</math> possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (<math>A=B</math>). Se <math>A \subseteq B</math> e ao menos um elemento pertencente a <math>B</math> não pertence a <math>A</math>, então <math>A</math> é chamado de '''subconjunto próprio''' de <math>B</math>, denotado por <math>A \subset B</math>. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de ''subconjunto impróprio''. | ||
===Igualdade de conjuntos=== | ===Igualdade de conjuntos=== | ||
Dois conjuntos ''A'' e ''B'' são ditos '''iguais''' se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de ''A'' é elemento de ''B'' e vice-versa. A simbologia usada é <math>A = B | Dois conjuntos ''A'' e ''B'' são ditos '''iguais''' se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de ''A'' é elemento de ''B'' e vice-versa. A simbologia usada é <math>A = B</math>. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo <math>\ne</math>. | ||
===Simetria de conjuntos=== | ===Simetria de conjuntos=== | ||
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== Operações com conjuntos == | == Operações com conjuntos == | ||
[[Imagem:conjuntos uniao.png|thumb|right|160px| | |||
[[Imagem:conjuntos uniao.png|thumb|right|160px|União de A e B (em azul mais escuro)]] | * UniãoUnião de A e B (em azul mais escuro)A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|União de A e B (em azul mais escuro) | ||
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: '''Dado um universo ''U'' e dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se ''união de A | ]] | ||
::<math>A \cup B = \{ x \in U | x \in A \ | * A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: '''Dado um universo ''U'' e dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se ''união de A co''''' '''''m B'' ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto ''A'' ou ao conjunto ''B''.''' Matematicamente: | ||
::<math>A \cup B = \{ x \in U | x \in A \lor x \in B \}</math> | |||
Por exemplo: | Por exemplo: | ||
::<math>A = \{a,e,i\} | ::<math>A = \{a,e,i\}</math> | ||
::<math>B = \{o,u\} | ::<math>B = \{o,u\}</math> | ||
::<math>A \cup B = \{a,e,i,o,u\} | ::<math>A \cup B = \{a,e,i,o,u\}</math> | ||
::<math>A = \{2,3,4,5\} | ::<math>A = \{2,3,4,5\}</math> | ||
::<math>B = \{1,3,5\} | ::<math>B = \{1,3,5\}</math> | ||
::<math>A \cup B = \{1,2,3,4,5\} | ::<math>A \cup B = \{1,2,3,4,5\}</math> | ||
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união. | Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união. | ||
* A união de um conjunto <math>A | * A união de um conjunto <math>A</math>, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto <math>A</math>, <math>A \cup \{\} = A</math>. | ||
* Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B</math>. | * Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B</math>. | ||
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===Intersecção=== | ===Intersecção=== | ||
[[Imagem:conjuntos interseccao.png|thumb|right|160px|Intersecção de A e B (em azul mais escuro)]] | [[Imagem:conjuntos interseccao.png|thumb|right|160px|Intersecção de A e B (em azul mais escuro)]] | ||
'''A intersecção de dois conjuntos''' <math>A | '''A intersecção de dois conjuntos''' <math>A</math> e <math>B</math>, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: '''Dados dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math>, pertencentes a um universo ''U'', chama-se ''intersecção de A com B'' ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a <math>A</math> quanto a <math>B</math>. Matematicamente: | ||
::<math>A \cap B = \{ x \in U | x \in A \ | ::<math>A \cap B = \{ x \in U | x \in A \land x \in B \}</math> | ||
Por exemplo: | Por exemplo: | ||
::<math>A = \{1,2,3\} | ::<math>A = \{1,2,3\}</math> | ||
::<math>B = \{3,4,5\} | ::<math>B = \{3,4,5\}</math> | ||
::<math>A \cap B = \{3\}</math> | ::<math>A \cap B = \{3\}</math> | ||
::<math>C = \{a,e,i,o,u,y\} | ::<math>C = \{a,e,i,o,u,y\}</math> | ||
::<math>D = \{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\} | ::<math>D = \{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}</math> | ||
::<math>C \cap D = \{\}</math> | ::<math>C \cap D = \{\}</math> | ||
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[[Imagem:conjuntos diferenca.png|thumb|right|160px|Diferença A menos B (em azul mais escuro)]] | [[Imagem:conjuntos diferenca.png|thumb|right|160px|Diferença A menos B (em azul mais escuro)]] | ||
'''Dado um universo ''U'' ao qual pertencem dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se ''diferença de A menos B'' ao conjunto de elementos que pertencem a ''A'' e não pertencem a ''B''; chama-se de ''diferença de B menos A'' ao conjunto de elementos que pertencem a ''B'' e não pertencem a ''A'''''. Matematicamente: | '''Dado um universo ''U'' ao qual pertencem dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se ''diferença de A menos B'' ao conjunto de elementos que pertencem a ''A'' e não pertencem a ''B''; chama-se de ''diferença de B menos A'' ao conjunto de elementos que pertencem a ''B'' e não pertencem a ''A'''''. Matematicamente: | ||
::<math>A - B = \{x \in U | x \in A \ | ::<math>A - B = \{x \in U | x \in A \land x \not\in B\}</math> | ||
::<math>B - A = \{x \in U | x \in B \ | ::<math>B - A = \{x \in U | x \in B \land x \not\in A\}</math> | ||
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z<sub>-</sub> (números inteiros não-positivos): | Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z<sub>-</sub> (números inteiros não-positivos): | ||
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'''Exemplos''': | '''Exemplos''': | ||
:Se ''A'' = { 7, 8, 9 }, então ''A'' | :Se ''A'' = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto ''A'' é 3. | ||
:Se ''A'' = { }, então ''A'' | :Se ''A'' = { }, então a cardinalidade do conjunto ''A'' é 0. | ||
Se um conjunto tem ''n'' elementos, onde ''n'' é um [[Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais|número natural]] (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um '''conjunto finito''' com uma '''cardinalidade de n''' ou número '''Número cardinal''' n. | Se um conjunto tem ''n'' elementos, onde ''n'' é um [[Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais|número natural]] (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um '''conjunto finito''' com uma '''cardinalidade de n''' ou número '''Número cardinal''' n. | ||
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* [[Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios]] | * [[Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios]] | ||
==Par ordenado== | |||
Um '''par ordenado''' é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o ''primeiro elemento'' (ou '''primeira coordenada''') e o ''segundo elemento'' (ou '''segunda coordenada'''). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os ''primeiros elementos'' são iguais e os ''segundos elementos'' são iguais. Ou seja, | |||
::<math>(a,b) \ne (b,a)</math> | |||
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é: | |||
::<math>(a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \}</math> | |||
::<math>(b,a) = \{ \{b\}, \{b,a\} \}</math> | |||
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como '''intervalo aberto'''. | |||
== Produto cartesiano == | == Produto cartesiano == | ||
Dados dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se '''produto cartesiano de A em B''' ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a ''A'', e a segunda coordenada seja pertencente a ''B''. O símbolo do produto | Dados dois conjuntos ''A'' e ''B'', chama-se '''produto cartesiano de A em B''' ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a ''A'', e a segunda coordenada seja pertencente a ''B''. O símbolo do produto cartesiano é <math>\times</math>. Matematicamente: | ||
::<math>A \times B = \{(x,y) | x \in A \ | ::<math>A \times B = \{(x,y) | x \in A \land y \in B \}</math> | ||
O [[w:Produto cartesiano|produto cartesiano]] de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto de [[w:Par ordenado|pares ordenados]]: | O [[w:Produto cartesiano|produto cartesiano]] de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto de [[w:Par ordenado|pares ordenados]]: | ||
: <math>A \times B= \{(a,b) : a \in A \ | : <math>A \times B= \{(a,b) : a \in A \land b \in B\}</math> | ||
A soma ou união disjunta de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto | A soma ou união disjunta de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto | ||
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* Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático [[w:pt:René Descartes|Descartes]], quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais '''R''' (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano. | * Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático [[w:pt:René Descartes|Descartes]], quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais '''R''' (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano. | ||
===Relações=== | ===Relações=== | ||
Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada '''relação de A em B'''. (O assunto é abordado com mais detalhes na [[../Relações|próxima seção]].) | Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada '''relação de A em B'''. (O assunto é abordado com mais detalhes na [[../Relações|próxima seção]].) | ||
== Notas == | |||
<references/> | |||
==Ver também == | ==Ver também == |
Edição atual tal como às 16h44min de 2 de fevereiro de 2019
Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.
Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.
Representação
Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:
Especificando conjuntos
A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:
Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:
Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:
P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:
O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .
Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.
Terminologia
Conjunto unitário
Um conjunto unitário possui um único elemento.
Conjunto vazio
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por , , ou .[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
Subconjuntos
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
- A = { 1,2,3 }
- B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.
Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.
Conjunto das partes ou potência
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).
Uma maneira prática de determinar é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.
Exemplo:
- Se A = { 1, 2, 3 }, então = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
- Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto terá 2n elementos. Ou seja:
- .
Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.
Se A = → P(A) = {} → n(P(A)) = 2^0 = 1
Se A = {a} → P(A) = {,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2
Se A = {a,b} → P(A) = {,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4
Se A = {a,b,c} → P(A) = {,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8
...
P(A) é formado por somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).
Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por ).
n(P(A)) =
Pelo Predefinição:W, com a soma das linhas:
→ n(P(A)) =
Mas,
→ n(P(A))
Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.
Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
O Teorema de Cantor estabelece que .
Conjunto Universo
Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.
Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.
Relações entre conjuntos
Relação de inclusão
Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.
Exemplo: Se considerarmos o conjunto formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto formado pelas vogais, podemos dizer que (A contém V) ou (V está contido em A)
Relação de pertinência
Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever .
Exemplos:
Subconjuntos próprios e impróprios
Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo .
Simetria de conjuntos
Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.
Operações com conjuntos
- A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
- A união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto , .
- Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, .
Intersecção
A intersecção de dois conjuntos e , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a . Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.
Diferença
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):
- Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
- N = {1,2,3,4,5,...}
- A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, .
Complementar
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:
Exemplo:
- A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
- D = { {10,12} }
Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é
Exemplos:
- Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.
- Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.
Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph zero), .
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por ou por . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então .
Problemas matemáticos sobre cardinalidade
Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:
- É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
- É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.
Um problema típico simples do primeiro caso é:
- Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?
Um problema típico simples do segundo caso é:
- Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?
A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.
Exercícios
Par ordenado
Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é . Matematicamente:
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
- .
- O produto cartesiano é não-comutativo: .
- Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.
Relações
Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)
Notas
- ↑ Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.
Ver também
Wikilivros
- Teoria dos conjuntos - texto mais avançado