Matemática elementar/Função quadrática: mudanças entre as edições
imported>Jorge Morais (remoção (violação de direitos autorais)) |
imported>Yone Fernandes |
||
(41 revisões intermediárias por 21 usuários não estão sendo mostradas) | |||
Linha 1: | Linha 1: | ||
{{ | Observe o exemplo que segue: | ||
== | {{ênfase| 1= Um barril tem o formato de um cilindro circular reto e é utilizado para armazenar petróleo. Ele tem a capacidade ''V'' de armazenar 160 litros e sua altura ''h'' tem <math> \tfrac 4 {\pi}</math> metro. Quantos ''x'' metros devem ser somados ao raio do barril para que seu volume aumente ''y'' litros?}} | ||
A resposta para este problema é uma '''função quadrática''', que pode ser deduzida pelo seguinte modo: | |||
*O volume do cilindro é dado por seu raio ''r'' (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos): | |||
:<math>V = r^2 \pi h \to \frac {4} {25} = \frac {4 r^2 \pi} {\pi} \to r = \frac 1 5</math> | |||
*Introduzindo ''x'' e ''y'' ao cálculo: | |||
:<math> \frac {4} {25} + y = \frac {4 \pi ( \frac 1 5 + x)^2} { \pi}</math> | |||
*Resolvendo: | |||
:<math> \frac {4} {25} + y = \frac 4 {25} + 4x^2 + \frac {8x} 5</math> | |||
*Que simplificada: | |||
:<math>y = \frac {20x^2 + 8x} 5</math> | |||
A função quadrática | Que é a solução para o problema. A presença da variável ''x'' no segundo grau (x<sup>2</sup>) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada: | ||
{| {{prettytable}} width="100%" | |||
!width="10%" | x | |||
!width="6%" | -7 | |||
!width="6%" | -6 | |||
!width="6%" | -5 | |||
!width="6%" | -4 | |||
!width="6%" | -3 | |||
!width="6%" | -2 | |||
!width="6%" | -1 | |||
!width="6%" | 0 | |||
!width="6%" | 1 | |||
!width="6%" | 2 | |||
!width="6%" | 3 | |||
!width="6%" | 4 | |||
!width="6%" | 5 | |||
!width="6%" | 6 | |||
!width="6%" | 7 | |||
|- | |||
!y | |||
|<center>184,8</center> | |||
|<center>134,4</center> | |||
|<center>92</center> | |||
|<center>57,6</center> | |||
|<center>31,2</center> | |||
|<center>12,8</center> | |||
|<center>2,4</center> | |||
|<center>0</center> | |||
|<center>5,6</center> | |||
|<center>19,2</center> | |||
|<center>40,8</center> | |||
|<center>70,4</center> | |||
|<center>108</center> | |||
|<center>153,6</center> | |||
|<center>207,8</center> | |||
|} | |||
Diferentemente da [[Matemática elementar/Função afim|função afim]] (em que para cada ''x'' há um valor ''y''), na função do segundo grau os valores ''y'' se repetem. Trata-se, portanto, de uma [[Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras|função sobrejetora]] e [[Matemática elementar/Funções#Propriedades das funções|par]]. | |||
== Função quadrática == | |||
A expressão geral da função do segundo grau é | |||
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> | |||
Em que ''a'' e ''b'' são os coeficientes de ''x<sup>2</sub>'' e ''x'', respectivamente, e ''c'' é o coeficiente independente. | |||
=== Gráfico === | |||
Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma '''parábola''', que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para ''a'' > 0) ou para a parte de baixo (para ''a'' < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo: | |||
<center> | |||
{| | |||
|[[Imagem:Qfunction.png|300px|thumb|Gráfico ''f(x) = x<sup>2</sup>'', em que a concavidade está para cima.]] | |||
|[[Imagem:Time versus enjoyment.gif|320px|thumb|Gráfico ''f(x) = -x<sup>2</sup> + 2x'', em que a concavidade está para baixo.]] | |||
|} | |||
</center> | |||
== | Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (0, ''c''), em ''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c'': | ||
:<math>f(0) = 0^2a + 0b + c</math> | |||
Portanto, diz-se que o coeficiente independente ''c'' é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passe pelo eixo ''y'' no ponto zero. | |||
==== Zeros ==== | |||
[[Imagem:Parabolic graph convex 2roots.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que Δ > 0.]] | |||
[[Imagem:Parabolic graph convex 1root.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que Δ = 0.]] | |||
[[Imagem:Parabolic graph convex no roots.PNG|200px|thumb|right| Exemplo de parábola em que Δ < 0.]] | |||
Sempre que encontramos um valor da variável ''x'' onde a função ''y'' (ou ''f(x)'') é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. No gráfico, as raízes representam os pontos (x, 0) - ou seja, aqueles em que a parábola intercepta o eixo das abcissas. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre: | |||
<math>y = f(x) = (x - p)(x - q)</math> | |||
== | Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são ''p'' e ''q''. Observe que para ''x'' igual a ''p'' ou ''q'', o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (Δ): | ||
:<math>\Delta = b^2 - 4ac</math> | |||
Desta forma, se Δ > 0, ''f(x)'' tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, ''f(x)'' tem duas raízes reais idênticas. Se Δ < 0, ''f(x)'' possuirá duas raízes complexas distintas. | |||
=== | Os valores de ''p'' e ''q'' podem ser descobertos facilmente por: | ||
{| width="40%" | |||
|<math> p = \frac {-b + \sqrt {\Delta}} {2a}</math> | |||
|<math> q = \frac {-b - \sqrt {\Delta}} {2a}</math> | |||
|} | |||
= | Desta forma, os zeros da função podem ser conhecidos pela seguinte fórmula resumida: | ||
< | :<math>x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}</math> | ||
É a chamada ''fórmula quadrática'' (erroneamente conhecida como ''fórmula de Bhaskara''<ref>[https://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/ Fórmula de Bháskara]. Por José Roberto Lessa. ''InfoEscola'', 24 de abril de 2018.</ref>). Veja um exemplo em que foram calculadas as raízes de ''f(x) = -4x<sup>2</sup> + 3x + 1'': | |||
:<math>x = \frac {-3 \pm \sqrt {3^2 - 4 \times (-4) \times 1}} {2 \times (-4)} = \frac {-3 \pm \sqrt {25}} {-8} = \frac {-3 \pm 5} {-8}</math> | |||
Assim, as raízes são descobertas alternando-se o sinal anterior a {{math|{{raiz|Δ}}}}: | |||
===Exercícios | {| width="40%" | ||
|<math> p = \frac {-3 + 5} {-8} = - \frac 1 4</math> | |||
|<math> q = \frac {-3 - 5} {-8} = 1</math> | |||
|} | |||
[[Imagem:Parabola (PSF).png|270px|thumb|left|Detalhe do corte de um cone, em que se observa as raízes (A e C) e o vértice (B).]] | |||
==== Vértice ==== | |||
O vértice é o único ponto ''x'' da função ''f(x)'' em que um determinado valor ''y'' não se repete. Ele pode ser obtido pela [[Matemática elementar/Médias|média aritmética]] de quaisquer valores ''x'' desde que determinem o mesmo ''y''. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior: | |||
:<math>x = \frac {- \frac 1 4 + 1} 2 = \frac {-1 + 4} {8} = \frac 3 8</math> | |||
O valor ''y'' é obtido pela substituição de ''x'' na equação original (y = -4x<sup>2</sup> + 3x + 1): | |||
:<math>y = -4 \left ( \frac 3 8 \right )^2 + 3 \frac 3 8 + 1 = -4 \frac 9 {64} + \frac 9 8 + 1 = \frac {-36} {64} + \frac {72} {64} + \frac {64} {64} = \frac {100} {64} = \frac {25} {16}</math> | |||
Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas: | |||
{| width="40%" | |||
|<math> x = \frac {-b} {2a}</math> | |||
|<math> y = \frac {- \Delta} {4a}</math> | |||
|} | |||
Exemplo: ''quais as coordenadas do vértice de y = x<sup>2</sup> + 4x + 1?'' | |||
{| width="60%" | |||
|<math> x = \frac {-4} {2 \times 1} = -2</math> | |||
|<math> y = \frac {- (4^2 - 4 \times 1 \times 1)} {4 \times 1} = -3</math> | |||
|} | |||
[[Imagem:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|right|250px|Parábola de foco F. A diretriz está destacada de cor verde.]] | |||
==== Elementos da parábola ==== | |||
A parábola é construída a partir de um ''foco'' e de uma ''diretriz''. | |||
=== Função dados três pontos === | |||
Dados três pontos quaisquer de um plano em que a mesma parábola os une, então é possível descobrir a função por dois métodos: por um [[Matemática elementar/Sistemas lineares|sistema linear]] ou pela [[Matemática elementar/Matrizes#Exemplo de aplicação de determinantes|regra de Cramer]]. Mostraremos a resolução somente pelo sistema de equações, deixando o método de Cramer a cargo do leitor. Consideraremos os pontos z<sub>1</sub> = (x<sub>1</sub>; y<sub>1</sub>), z<sub>2</sub> = (x<sub>2</sub>; y<sub>2</sub>) e z<sub>3</sub> = (x<sub>3</sub>; y<sub>3</sub>) pertencentes à parábola. Dá-se a equação, então, por: | |||
:<math> f(x) = | |||
\begin{cases} | |||
ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\ | |||
ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\ | |||
ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Exemplo: ''qual a equação da parábola que passa pelos pontos z<sub>1</sub> = (2; 6), z<sub>2</sub> = (-1; -3) e z<sub>3</sub> = (-2; 2)?'' | |||
:<math> | |||
\begin{cases} | |||
2^2a + 2b + c = 6 \\ | |||
(-1)^2a - b + c = -3 \\ | |||
(-2)^2a - 2b + c = 2 | |||
\end{cases} | |||
\quad \to | |||
\begin{cases} | |||
4a + 2b + c = 6 \\ | |||
a - b + c = -3 \\ | |||
4a - 2b + c = 2 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Multiplicaremos a terceira equação por -1 e somá-la-emos às duas primeiras: | |||
:<math> | |||
\begin{cases} | |||
4a + 2b + c = 6 \\ | |||
a - b + c = -3 \\ | |||
-4a + 2b - c = -2 | |||
\end{cases} | |||
\quad \to | |||
\begin{cases} | |||
4b = 4 \\ | |||
-3a + b = -5 | |||
\end{cases} | |||
\quad \to | |||
\begin{cases} | |||
b = 1 \\ | |||
-3a + 1 = -5 | |||
\end{cases} | |||
\quad \to | |||
\begin{cases} | |||
b = 1 \\ | |||
a = 2 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Substituindo-se ''a'' por 2 e ''b'' por 1 em uma das equações, obteremos c = - 4. Assim, a equação desta parábola é ''y = 2x<sup>2</sup> + x - 4''. | |||
== Equações biquadradas == | |||
== Exercícios == | |||
* Ver [[Funções quadráticas/Exercícios]] | * Ver [[Funções quadráticas/Exercícios]] | ||
{{ | {{referências}} | ||
{{AutoCat}} |
Edição atual tal como às 19h04min de 24 de junho de 2019
Observe o exemplo que segue:
A resposta para este problema é uma função quadrática, que pode ser deduzida pelo seguinte modo:
- O volume do cilindro é dado por seu raio r (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos):
- Introduzindo x e y ao cálculo:
- Resolvendo:
- Que simplificada:
Que é a solução para o problema. A presença da variável x no segundo grau (x2) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada:
x | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Diferentemente da função afim (em que para cada x há um valor y), na função do segundo grau os valores y se repetem. Trata-se, portanto, de uma função sobrejetora e par.
Função quadrática
A expressão geral da função do segundo grau é
Em que a e b são os coeficientes de x2 e x, respectivamente, e c é o coeficiente independente.
Gráfico
Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma parábola, que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para a > 0) ou para a parte de baixo (para a < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo:
Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (0, c), em f(x) = ax2 + bx + c:
Portanto, diz-se que o coeficiente independente c é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passe pelo eixo y no ponto zero.
Zeros
Sempre que encontramos um valor da variável x onde a função y (ou f(x)) é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. No gráfico, as raízes representam os pontos (x, 0) - ou seja, aqueles em que a parábola intercepta o eixo das abcissas. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:
Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são p e q. Observe que para x igual a p ou q, o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (Δ):
Desta forma, se Δ > 0, f(x) tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, f(x) tem duas raízes reais idênticas. Se Δ < 0, f(x) possuirá duas raízes complexas distintas.
Os valores de p e q podem ser descobertos facilmente por:
Desta forma, os zeros da função podem ser conhecidos pela seguinte fórmula resumida:
É a chamada fórmula quadrática (erroneamente conhecida como fórmula de Bhaskara[1]). Veja um exemplo em que foram calculadas as raízes de f(x) = -4x2 + 3x + 1:
Assim, as raízes são descobertas alternando-se o sinal anterior a Predefinição:Math:
Vértice
O vértice é o único ponto x da função f(x) em que um determinado valor y não se repete. Ele pode ser obtido pela média aritmética de quaisquer valores x desde que determinem o mesmo y. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior:
O valor y é obtido pela substituição de x na equação original (y = -4x2 + 3x + 1):
Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas:
Exemplo: quais as coordenadas do vértice de y = x2 + 4x + 1?
Elementos da parábola
A parábola é construída a partir de um foco e de uma diretriz.
Função dados três pontos
Dados três pontos quaisquer de um plano em que a mesma parábola os une, então é possível descobrir a função por dois métodos: por um sistema linear ou pela regra de Cramer. Mostraremos a resolução somente pelo sistema de equações, deixando o método de Cramer a cargo do leitor. Consideraremos os pontos z1 = (x1; y1), z2 = (x2; y2) e z3 = (x3; y3) pertencentes à parábola. Dá-se a equação, então, por:
Exemplo: qual a equação da parábola que passa pelos pontos z1 = (2; 6), z2 = (-1; -3) e z3 = (-2; 2)?
Multiplicaremos a terceira equação por -1 e somá-la-emos às duas primeiras:
Substituindo-se a por 2 e b por 1 em uma das equações, obteremos c = - 4. Assim, a equação desta parábola é y = 2x2 + x - 4.
Equações biquadradas
Exercícios
- ↑ Fórmula de Bháskara. Por José Roberto Lessa. InfoEscola, 24 de abril de 2018.